Concavité, convexité d’une courbe. Inflexion

On appelle concavité d'une courbe au voisinage d'un point À de cette courbe, le côté de la courbe où se trouve le centre C du cercle osculateur, autrement dit, le centre de courbure correspondant au point À.

On appelle convexité le côté de la courbe où ne se trouve pas le | .

centre de courbure. f°

On dit que la courbe présente une inflexion nt au point P quand le < ne rayon de courbure cor- à SE Re dr au point P “+ / \ D. L est infini. Le petit arc 0 D | de courbe voisin de P est assimilable à un Fig. 70.

élément de droite; on | peut dire que le centre de courbure est sur la normale à cet élément, à l'infini et arbitrairement d'un côté ou de l’autre de la droite.

Il est facile de reconnaître de quel côté de la normale est le centre de courbure (fig. 70).

Au point À de la courbe, menons la tangente AD et la normale AF. Le quotient y'—dy:dx est proportionnel à tgx, mesure tga, quelles que soient les échelles pour les abscisses et les ordonnées.

On sait de plus que la tangente varie toujours dans le même sens que l'arc (S 58). Ceci posé, pour que la courbe ait la forme repré-

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sentée, c’est-à-dire pour que le centre de courbure soit du côté AF de la courbe, il faut que la tangente BE au point B soit plus horizontale que la tangente au point A. Il faut donc que pour dr >0, on ait da<Z0, par suite, dtga<0,. dy —=ydx<0, y"<0. D'où la règle :

L’ordonnée du centre de courbure est inférieure à l’ordonnée du point correspondant de la courbure, si y"<90; elle est supérieure, si y’ >>0. On vérifiera que la règle est la même quand x est supérieur à "%:2.

Il y a inflexion si y'—0 (K 18).

Le lecteur comparera le résultat à celui qu’expriment les formules (6) du $ 91. Il n'oubliera pas qu'implicitement on suppose ici les arcs comptés sur la courbe positivement dans le sens des x croissants.