Dérivées partielles : principe fondamental

10. — Nous supposons, dans ce qui précède, que la fonction y ne dépend que d'une variable x. Généralement elle dépend de plusieurs variables x, z, {, ... qui peuvent être indépendantes (c'est-à-dire qu'on peut supposer varier les unes sans les autres), ou qui peuvent être liées par une relation quelconque, peu importe. On a donc :

vf, 5, KR

Quand x,3,t,... deviennent æ—+Ax, z3—Az, t—+ At, .…, y subit un accroissement Ay qui dépend d'une manière complexe de Ax, Az, Af, .. En particulier, il est généralement impossible d'isoler la partie de l'accroissement qui dépend de Ax, de celle qui dépend de Az, .….; Ax et Az entrent simultanément dans certains termes. |

Par exemple, soit y = 25.

Ona: y+Ay=(xr + Ax) (3 + Az)— 3 + xAz + zAx + ArAz, Ay = xÀ3 + 3Ax + AxAz.

L'accroissement de Ay, quand x croît de Ax, ne peut être calculé sans connaître l'accroissement simultané Az de la variable z.

= BUT ET PROGCÉDÉS DU CALCUL DIFFÉRENTIEL 19 Mais quand Az et Az tendent simultanément vers zéro, le terme AxAz décroît beaucoup plus vite que les deux autres. À La limite, il devient négligeable. | 2%, — En généralisant, nous obtenons ce principe dont nous nous défendons de donner une démonstration, quittes à le vérifier dans tous les cas particuliers : On peut calculer la limite de l’accroissement de la fonction pour un accroissement infiniment petit de l’ane des variables dont elle dépend, sans s'occuper des accroissements infiniment petits simullanés des autres variables; autrement dit, on calcule cette limite en supposant constantes les autres variables.

Nous écrivons : dy — V dr + + 2 qu +

ù + (qu'on écrit encore dy : dx ou dy/dx) est la dérivée partielle de y par rapport à x ; elle ne diffère en rien d’une dérivée ordinaire. Le mot partiel rappelle seulement que y dépend non seulement de æ, mais encore d'une ou plusieurs autres variables :

— te nee 3, t, se nd 3, t, .….) D done. AE Reprenons l'exemple : SR.

. ù dy

Y y dy, Hat AE RTS Pur er dy — dx + xdz.

Nous avons : dy —

REMARQUE

Si on a identiquement y—f{x, 3, t, …)—0, la relation devant être satisfaite en particulier pour les valeurs #,3, {, ... des variables et les valeurs infiniment voisines x dx, 2<4dz, .… ,on

a identiquement :

| " d dy de + ds +... —0,

ou, suivant la notation de Lagrange :

fade + f.dz+ f,dt+...—=0.