Explication du symbolisme; dérivée d’une intégrale

1°. — Montrons que le symbole intégrale ne fait que résumer et schématiser les opérations qu'il faut effectuer pour calculer l’aire, la courbe 7y—f(x), étant donnée.

La méthode qui se présente le plus naturellement, consiste à tracer des ordonnées suffisamment voisines, à évaluer l’aire de chaque élément ainsi constitué, enfin à sommer ces aires élémentaires.

Soit un des éléments ABDE : posons AB—Ax. Remplaçons l'arc de courbe ED par la corde ED; nous formons un trapèze. Appelons y l’ordonnée moyenne de ce trapèze, ordonnée évidemment équidistante des ordonnées AE, BD; l'aire élémentaire a pour expression :

yAX.

Opérons de même pour tous les éléments. L'’aire cherchée est approximativement :

à yAæx, Ty

le symbole Ÿ signifiant qu’on fait la somme de toutes les quantités analogues, comprises entre les ordonnées limites x, et æ. L'approximation est d'autant meilleure que les ordonnées sont plus voisines. L'évaluation serait rigoureuse si les différences Ax étaient remplacées par des différentielles dx; de sorte qu’on a :

"4 ride = limite Ne yAz.

es mi FONCTIONS ARE à PAR LEÜRS s DÉRIVÉES 187

Reste à montrer comment l'évaluation de cette limite est possible, non certes graphiquement, mais grâce à la défimition géométrique de la courbe y—f(x).

9%, — Cherchons la dérivée de la fonction :

S— o(x) = f'yde.

Par définition nous avons :

x) = f ydz—aire MNPQM, x + dx S(x + dx) — ydx = aire MNP'Q'M,

S(x+-dx)—S(x)—=aire MNP'Q'M— aire MNPQM=—aire QPPQQ, (1) à la condition que dx soit une quantité, non pas petite, mais infiniment petite, c’est-à-dire qui tend vers zéro. La relation (1) n’est rigoureusement vraie qu’à la limite, quand dx s’est annulé.

Or, avec une erreur qui s'annule avec dx, on peut poser :

aire QPP'Q'Q —ydx, puisque l'aire du triangle curviligne RPP” est un infiniment petit du second ordre ($ 10), rigoureusement négligeable devant l'aire

QRP'Q", quand dx s’annule.

Nous avons donc : d.S(x)—ydx, (x) Sd

D'où cette conséquence fondamentale : Définir une fonction de x par l'aire S(x) comprise entre la courbe y—f(x), deux ordonnées (une ordonnée fixe et une ordonnée variable) et l'axe Ox, revient à définir cette fonction par sa dérivée.

Ainsi nous aboutissons à une conséquence formulée par les sym-

boles :

S— f va À —

Les opérations d'intégration et de dérivation sont inverses. Intégrer la fonction y—/f{x), c'est chercher une fonction S dont y soit la dérivée; S est appelée fonction primitive de y.

Montrons que la définition de l'intégrale est bien d'accord avec cette conséquence. Pour cela représentons par une courbe ABCD … la fonction y —/f(x) donnée, et par une courbe A'B'C' .. la fonction S intégrale mesurant l'aire à partir de l’ordonnée d’abscisse x, (fig. 123).

1°. — Aux points C, E, l’ordonnée y—/f{x) change de signe. Comme nous comptons positivement les aires qui sont au-dessus de Ox (y=>0), négativement celles qui sont au-dessous (y <0),

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188 | COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES (cette convention résulte immédiatement de notre symbolisme) l'aire commence à décroître à partir de l’abscisse OC. Donc il existe un maximum de la fonction S—o(x) sur l’ordonnée d’abscisse OC. À partir de l'abscisse OE, l'ordonnée y redevient positive; la fonction S—o(x) recommence à croître; donc elle passe par un minimum

pour æ—0OE.

Nous concrétisons ainsi cette règle qu'une fonction est maximum où minimum quand sa dérivée s'annule ($ 8).