Interversion des limites. Signe des aires

4°. — On a :

S— f yde—— f”yds;

quand on intervertit les limites, on change le signe de l'intégrale.

En effet, pour toutes les valeurs de, les ordonnées ! y sont les mêmes dans les deux intégrales.

Mais les accroissements | dæ ont changé de signe, puisque la somme des accroissements doit donner la différence æ—x, dans le premier cas, la différence to —æ dans le second.

2. — Jusqu'à présent nous avons regardé S(x) comme fonction de la limite © SAP supérieure, Nous pouvons aussi bien la regarder comme fonction de la limite inférieure, ou mieux comme fonction des deux limites prises pour variables indépendantes (fig. 124).

Posons : S=— f fade [. f(x)dæ.

dS dS

be——— “

Fig. 124.

Reprenons le raisonnement du $ 152; on trouve immédiatement :

Re dS Ce résultat est, du reste, une conséquence du f°. La figure 124 en montre la signification. Quand v croît de dv, S croît de s, — f{v)dv quand au contraire u croît de du, S décroît de s,=— f(u)du D'où la variation totale :

dS=s, —s,— f(v)dv — f(u)du

3°. — De ce qui précède il résulte qu’on doit poser :

S— fl ydr —F()—F(r) =| Fo)" (2)

En effet, quelle que soit la limite inférieure x,, il faut que S s’annule quand la limite supérieure lui devient égale. Quelles que soient les deux limites, il faut que l'intégrale change de signe quand on les intervertit. On a bien identiquement :

F(x,) — F(x,) —0, F(x) — F(xs) = — [F(æ) — F(x)|.

Pour simplifier, nous écrirons souvent en omettant les limites :

. yde = FiT},

Mais il est bien entendu qu'une intégrale dont les limites ne sont pas spécifiées, est encore absolument indéterminée. C'est une aire comprise entre une courbe, l’axe des abscisses, ef deux ordonnées qui ne sont pas encore choisies.

4#. — D'après nos conventions, les aires peuvent avoir le signe — soit quand les ordonnées é sont négatives, soit quand

les abscisses décroissent pendant l'intégration.

B On peut comprendre les 4 deux règles en une seule.

LC Reportons-nous à la figure 123. Parcourons la courbe y—/f(x) dans le

| ‘ sens ABCDE. Sur l’arc ABC,

# | nous avons l’aire à mesurer

œ T < à notre droite; n ]

E : ite; nous la

Pig: 408. | comptons positivement. Sur

l'arc CDE, nous l'avons à notre gauche; nous la comptons négativement.

Prenons maintenant la figure 125. Sur l’arc ABC, nous avons l'aire à mesurer zABCy« à notre droite; sur l’axe CDA, nous avons l’aire

hé Li ce x ”.

FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES 11 yCDAxy à notre gauche. Nous prendrons la première positivement,

et la seconde négativement.

Nous poserons :

[ ydx — A BCya— yCDAzxy — ABCDA.

En définitive, décrivons le contour qui limite une aire : si elle est à notre droite, nous la prendrons positivement; si elle est à notre gauche, nous la prendrons négativement. Nous pouvons évidemment remplacer cette convention par la convention inverse.

5°. — Considérons les deux courbes ABC, ADC, comme parcourues dans le même sens; appelons y et y’ leurs ordonnées pour la

même abscisse. Nous pouvons aussi bien écrire :

ABCDA = / ‘yde— f‘yde— f (y — y.

Pratiquement c’est ainsi

que se font les calculs. ” 6°. — Il arrive qu'une courbe délimite une aire nulle B ; (fig. 126).

Par exemple, d'après nos A Û se FE conventions, l'aire ABCGA est positive, l'aire CDEF est G D négative. | | La somme de ces aires 9 | k

peut être nulle. On rencontre souvent, en Physique, la condition qu’une courbe délimite une aire nulle au sens qui vient d'être précisé (courbe représentative des gaz, .….) |

Fig. 126.

155. Pente moyenne ; ordonnée moyenne. Valeur efficace. | 1°. — Soit S(x) une fonction de la variable æ. Supposons que celle-ci passe de x, à æ,—2x,—h. Nous pouvons appeler pente moyenne de la fonction S(x) dans l'intervalle de x, à x,, le quotient :

Pn = [S(a) —S(x)] : À.

C'est la pente de la droite AB qui passe par les extrémités des ordonnées extrêmes (fig. 127 à gauche).

Soit f(x) la dérivée deS par rapport à æ; f(x) —dS : dæ. C'est la pente vraie p de la courbe. Je dis qu’on a : Pn = f(to+ 0h), 0<0<1;

la pente moyenne dans un intervalle est égale à l’une des valeurs de la pente vraie dans le même intervalle. C'est évident; car, si pour

| cours DE MA THÉMA TIQ UES | GÉNÉRALES se

une certaine eur de Tr, on 4 "D D; il faut par comipéusation | que pour d’autres Sous on ait p<pP,.

ë Puisque par hypothèse la dérivée est continue, on aura assurément P—P»; Pour au moins une valeur de x.

°. — On peut énoncer la proposition d’une manière différente. Représentons (fig. 127 à droite) une fonction y—f(x). L'aire A'ABCDD' a pour expression :

S(æ,)—S(x,) — + *f(æ)dx

Il est évident qu'elle est égale à un rectangle de base À et dont la

C k | | AE Ë

Fig. 127.

hauteur est intermédiaire entre la plus petite et la plus grande des

valeurs que prend f(x) dans l'intervalle de x, à æ,. Puisque f(x) “n est continue par hypothèse, l'aire est donc égale au produit de À par | l'une des valeurs de f(x) dans cet intervalle. D’où la relation :

S(æ)—S(a)=h . fr 0h), 001.

Aainsi l’on a :

m = f {20 + 0(x ÿ— %)] = f los f(æ)

Cette formule définit d'abord ce qu'on appelle valeur moyenne de la fonction f(x) dans l'intervalle de x, à +, ; elle nous apprend de plus que la valeur moyenne est une des valeurs de la fonction dans cet intervalle.

3. — On appelle valeur efficace, la racine carrée de la valeur moyenne du carré d’une fonction :

ES PM AE sé | Les me V La Le TA f°(x)dx ? [en RES x, ar 2 f{x)dæ.

, 5 a té N è 4 Par exemple, soit : y —=ÀAsin TT une fonction sinusoiïdale,

FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES 193 Sa valeur moyenne pour une période est évidemment nulle: l'aire positive est égale à l'aire négative. Cherchons sa valeur efficace ($ 48).

T | T me 7 Au kzt A°T à f. sin dé= 5 FL (1 — COS +. dt — D] Re