Règles d'intégration

Dans le cas où S{x) est composée de fonctions usuelles, il n’est

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: ES SE 4e

196 COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES pas toujours commode de les découvrir. Nous énoncerons d’abord quelques règles dites d'intégration qui facilitent les tâtonnements.

1°. — L'intégration va de soi quand la quantité sous le signe + est

une différentielle exacte; c'est dire qu'on a :

S= f dfta)]

Prenons en effet la dérivée des deux membres ; il vient ($ 152) :

Les fonctions S et f ont même différentielle ; elles ne diffèrent que par une constante ($ 153). Mais S(x) doit s’annuler pour æ—#x,, en vertu de la définition de l'intégrale ; donc :

2. — Le procédé connu sous le nom d'intégration par parties repose sur l'identité ($ 9) :

d(uv) — udv + vdu, udv— d{uv) — vdu, (4)

où u et v sont des fonctions quelconques de la variable. Intégrons les deux membres de l'équation (4) entre les mêmes limites, ce qui est permis en vertu du # du $ 153 :

fut duo) — f vdu — (uv — uv) — f vdu; To To Lo Lo

Us, Lo, Sont les valeurs de u et devpour z—x4. Ainsi nous avons remplacé la recherche de l'intégrale :

fud, par celle de l'intégrale : fau

qui peut être plus facile.