FONCTION LOGARITHMIQUE ET

FONCTION EXPONENTIELLE 237 D, __ Soit e un nombre qui est encore à déterminer. J'ai toujours le droit de poser pour chaque nombre x ef chaque logarithme y :

sécern : HE D

e ne restant pas nécessairement le même quand x varie.

Quel que soit le nombre x positif, 1l est bien évident que je peux trouver un nombre e qui, élevé à une puissance égale au logarithme connu y de x, redonne le nombre x. Il n’est pas nécessaire de compliquer par la considération de nombres incommensurables, Je n'ai qu’à remplacer y par une fraction voisine de sa valeur exacte; je pourrai toujours après tâtonnements déterminer un nombre e.

Mais ce qui n’est pas évident, c’est que la valeur trouvée pour e sera la même pour tous les nombres x et les logarithmes y correspondants. De sorte que la fonction inverse du logarithme sera définie par la relation :

ze", où e est un certain nombre à déterminer une fois pour toutes. Nous appellerons exponentielle la fonction e’.

3. — Soit æ,, æ, æ3, .… des nombres dont les logarithmes sont V1» Y»;, On a : u == 108 ri, ua 108 mr:

Yi + Ya +... —= log x, +logr; + ...—]log(r, x, rs...) Passons aux fonctions inverses; supposons que le nombre e soit unique; montrons que les résultats obtenus dans cette hypothèse sont conformes : d'abord aux propriétés des logarithmes, ensuite aux règles de calcul des exposants.

On a : Cie, Masse”, Mia mener et Es enr hate,

Repassons aux logarithmes. Nous retrouvons la formule :

Yi Ys+Ys + … = log (x; Ds Es …..).

Naturellement le nombre e, apparaissant comme unique pour les produits, l'est aussi pour les puissances.

#. — Appliquons aux quotients. Soit :

=] log æ: ss log DR Te Jia loge,— log x, — log Admettons le nombre e unique; on a :

Li — ei, M e’: « —— en en —enTn, Lo

Repassons aux logarithmes :

Yi —Y2 = log (x, : æ;).

On démontrerait inversement et par l’absurde que si le nombre e

"= d = 2 1 SC 70 Ho NT ROUES 9.50 Li K ”