Supposons m négatif. Posons m——n

y—=aL" —

ë As oo .

"# | COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES Au lieu de condidencr y comme fonction de x", considérons-le comme fonction de la variable 3 que nous Dosérons égale “Eu z—x". Il va de soi que rien n’est changé.

Différentions la fonction y de 2:

1 1 l Az dz dy — ad( +) Him x + Az —;) — — à lim GE As 2 Remplaçons 3 par sa valeur :

3 n n — 1 D na — dt ee naL "ide | x x et enfin : dy= max" 7 :dx.

La formule est donc absolument générale.

14. Différentielles d’un produit, d’un quotient. 1°. — Nous avons déjà traité le cas de la différentielle d'un produit comme conséquence du principe fondamental ($ 9).

d(æzt ….)—z2t... dx Lt... dz+.….

Divisons les deux membres par le ai : | d(æzt.….). dx 3 aæzt = se E+T + +.

Nous verrons plus tard ($ nt de cette formule, importante dans la théorie des erreurs relatives.

®, — Soit la fonction: y— —.

Par définition, nous avons :

x Az M . 3Ax — xAz zdx — xdz dy=lim (TS —<)=1im a Ars 3° En effet, quand Az tend vers 0, zAz devient négligeable devant z°. On a coutume de retenir par cœur ce résultat et les résultats analogues; c’est déplorable : il y a de meilleures choses à caser dans sa cervelle. Dans la pratique, on doit toujours appliquer le principe fondamental ($ 9) et écrire :

dy EE ni — D dz ; 3 z°

Nous différentions d'abord par rapport à x en laissant z constant, puis par rapport à z en laissant x constant. Je n'ignore pas qu'il y aura généralement ensuite à réduire au même dénominateur ; on perdra donc 8 secondes 22 fois dans sa vie. C’est mieux que retenir une formule dont on oublie le sens.

3°. — FonNCTrIONS COMPOSÉES.

Revenons sur les fonctions composées.

Soit : y = #8, &== au”, des pu.

| Nous pouvons écrire : me, “Map”, dy = {(m+n)abu"+"-1du.

Procédons autrement :

dy = ds + zde — br. mu"'du Le nu" du; dy=abmu"*" "du +abnu"*"'du=abh(m+nlu"t"-1qu.