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3. — Voici maintenant le problème fondamental que nous avons à résoudre. Toutes les courbes dérivées (1) ont Ox et O7 comme asymptotes. Dans quel cas l’airé totale comprise entre une courbe et son asymptote est-elle finie?
La formule (3) répond à la question posée.
Les courbes S pour lesquelles n>>1, tendent vers une asymptote horizontale pour æ—x; les aires totales comprises entre les courbes n correspondantes et Oz, restent finies et égales à 1: (n— 1). Mais pour ces mêmes courbes, S devient infint pour z—0; les aires comprises entre les courbes » correspondantes et Oy sont infimies.
Inversement pour n<1, les aires comprises entre les courbes % et Ox sont infinies: les courbes S s'élèvent indéfiniment quand x croît. Mais les aires comprises entre les courbes x et Oy sont finies; les courbes S aboutissent verticalement pour 7—0, en un point d'ordonnée 1:(n—1). |
4. — Ce qui se passe pour n—1, c'est-à-dire pour la logarithmique, découle immédiatement du cas général.
A mesure que n supposé >>1 diminue, l’asymptote horizontale de la courbe S s'élève. À mesure que n supposé 1 augmente, le point où la courbe $ rencontre l'axe des ordonnées s’abaisse.
On en conclut pour n—1 :
08 ss oc, log0——Z.
REMARQUE Î
Les considérations précédentes suffisent à indiquer dans tous les cas si l'aire totale comprise entre une courbe et son asymptote est finie. On la comparera à l’une des hyperboles ci-dessus étudiées. Si elle est toujours plus éloignée de son asymptote qu'une des hyperboles pour lesquelles l'aire est infinie, l’aire à évaluer sera infinie. Si elle est toujours plus près de son asymptote qu'une des hyperboles pour lesquelles l'aire est finie, l’aire à évaluer est finie.
Pour faciliter la comparaison, on choisit l'asymptote pour un des axes de coordonnées.
Par exemple, soit à déterminer si l'intégrale :
A dr ae:
Sn —— , est finie.
sin æ
Nous comparons la courbe — 1 :sinx, à l'une des précédentes. Or, pour x très petit, sin z se confond avec x; la courbe 7 —1 : sinæ, se confond avee —14#:x. L'intégrale S se comporte done eomme un logarithme pour x très petit : elle est infimie. Cela n'a rien d'étonnant : ici l'intégration est possible, et l'on a :
dr
7e Le sms - "883.
5 REA ù à : 15 ira is ERA 248- COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES
REMARQUE Il. | Soit à intégrer une expression de la forme :
is o(æ)dx
On suppose (a) 0, et généralement que (x) ne s’annule pas dans l'intervalle de x, à x,. L'intégrale n’a de sens que si l'intervalle de x, à x, ne contient pas a. Car au voisinage de x—a, l'intégrale est comparable au logarithme pour æx—0. Il suffit de transporter l’origine des coordonnées au point æ—a, de poser par conséquent :
3—4x—a, pour que la quantité sous le signe *s devienne :
dz |'o(a +3)
Or, par hypothèse, le crochet a pour 3—0, une valeur finie quelconque, que nous pouvons considérer comme constante pour de très peliles variations de z. Tout se passe donc comme si nous opérions sur dz:3.
204. Manières suivant lesquelles les fonctions deviennent infinies ou s’annulent.
Considérons les fonctions x", où n est positif. Quand x s’annule, x" s’annule. Quand x croît indéfiniment (devient infini), x" croît luimême indéfiniment (devient infini).
1°. — Pour la même grande valeur de z, calculons les valeurs de x", en donnant à n une série de valeurs.
Nous obtenons des résultats qui croissent à mesure que nr augmente. Si n est très inférieur à 1, l'accroissement est lent (voir les courbes du $ 31). A la limite pour n—0, ona æ°—1, si grand que soit x; la fonction x° ne devient jamais infinie.
Nous classerons les manières suivant lesquelles les fonctions deviennent infinies, en les comparant à une puissance de la variable. Nous définirons ainsi le degré de la fonction pour de grandes valeurs de la variable. C’est ce que nous faisons au $ 36 pour les fonctions entières.
2. — Pour la même petite valeur de +, calculons les valeurs de x", en donnant à n une série de valeurs.
Nous obtenons des résultats qui décroissent à mesure que n augmente. Si n est très inférieur à 1, la diminution est très lente (voir les courbes du $ 31). A la limite pour n—0, on a x°—1, si petit que soit æ; Ta fonction x° ne s’annule ]; jamais, sauf pour == 0: où elle perd isole signification.
Nous classerons les manières suivant lesquelles les fonctions s'annulent, en les comparant à une puissance de la variable. Nous définirons ainsi le degré de la fonction pour de petites valeurs de la variable. C’est ce que nous faisons au $ 36 pour les fonctions entières.
3°. — Ceci posé, cherchons comment log x devient infini quand x croit indéfiniment.
Nous avons montré au paragraphe précédent que logx, tout en
devenant infini pour + très grand, sert de transition entre les fonctions qui restent finies et celles qui deviennent infinies. Il en résulte que le quotient : log :æ”,
tend vers 0, si petit que soit n (pourvu qu'il soit positif, c'est-à-dire pourvu que x" tende vers l'infini).
La fonction logæx se conduit donc comme une puissance, sinon nulle, du moins aussi petite qu’on veut de la variable.
4°. —.Ainsi la fonction y—logx, tend vers l'infini avec une lenteur extrême : il faut donner à x des valeurs extraordinairement grandes pour que y prenne des valeurs simplement grandes : ce qu'on vérifiera à l’aide d’une table de logarithmes.
Inversement considérons la fonction : e’.
Il résulte de ce que nous venons de dire qu'elle croît prodigieusement vite quand y croît, plus vite que toute puissance y" de la variable. D'où résulte que le quotient : t'y" (1) tend vers l'infini quand y croît indéfiniment, si grand que soit n.
La fonction exponentielle se conduit donc comme une puissance aussi grande qu'on veut de la variable.
3°. — Considérons enfin la fonction : y'e-"—1:{e": y"). (2)
Puisque la fonction (1) tend vers l'infini quand y croît indéfiniment, si grand que soit n, la fonction (2) tend vers 0. L'exponentielle négative diminue si vite quand y croît, qu'on peut la multiplier par telle puissance qu’on voudra de la variable sans pour cela l'empêcher de s’annuler.
