D'après la définition, on peut écrire
FH ee, (A Hey, (1H e)s, = (1 +)" fe, y, 2).
Supposons € infiniment petit ; D hors le ÈS membre par la formule du binôme ; négligeons les puissances de € supérieures à la première ; il vient :
fl(æ + ex), (y + <y), (3 +2), +] — f(x, y,3,)—= mef(x,y, 5).
Mais le premier membre est la différentielle de f{x,y,z) par
rapport aux accroissements ex, Ey, €,
On a donc : Lit +... |= aies : 2 + y sr +: A. = mf;
relation caractéristique des Me homogènes de degré m.
on
FT
CTERS TA
de HE:
# Ne
de a À dé. à
Re ANS 2 om
PRE Te ER TR 1 A Da RE dan 2 di LU
Par exemple, soit la fonction : ax? 2hxy + cy?.
ù ù On a : D = 24 +-2by, n — 2bx + 2cy :
2(2ax + 2by) + y(2bx + 2cy) — 2(ax° + 2bxy Le
16. Expressions qui se présentent sous une forme indéterminée.
1°. — Rien ne vaut, pour bien comprendre la nature de la dérivée, l’étude de certaines fonctions qui se présentent sous la forme 0 : 0 pour une valeur de la variable. Remarquons qu’il en est toujours ainsi pour la dérivée : c'est un quotient dont les deux termes tendent simultanément vers 0. Nous avons expliqué que l'indétermination serait réelle si on se bornait à considérer la valeur limite des deux termes ; elle disparaît si l'on considère des valeurs voisines de 0, mais finies, de ces deux termes : leur quotient est alors complètement déterminé, et cette détermination persiste si petits qu'ils soient.
D'où par extrapolation la valeur de la limite, quand ils s’annulent.
à La — à
2%. — Soit la fonction : y—=———
Pour æ—a, les deux termes s’annulent : il y a indétermination. Considérons donc des valeurs de + voisines de à et cherchons ce que devient le rapport. Mais chercher la valeur de z—/{x) pour des valeurs de æ voisines de à ($ 8, 3°), revient à calculer la différentielle dz en fonction de la différentielle dx et à remplacer x par a dans le résultat :
