Chainette

1°. — La chaïnette (fig. 162) a pour équations :

y=hcosh+, dy =sinh +. dr:

ds? — (1 + sinh? -— F)dr — cosh° +— 7. da*, s— h sinh Ces relations peuvent se mettre sous la forme : y=h +, sh, y? — ss — h?,

Menons la normale BN au point B, et la tangente BT. Projetons

Fig. 162.

le point E, pied de l'ordonnée, sur ces droites. Les relations précédentes signifient que :

BF—OA—h; BG = arc AB — s.

De ct ai. | COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES

NAS CE Her

2%. — Calculons le rayon de courbure {$ 91). On trouve aisément :

p=y th.

Or, dans les triangles semblables BFE, BEN, on a : : BE°—BF.BN; d'où: e—BN.

Le centre de courbure B' et le point N sont à la même distance du point B de part et d'autre de la courbe. En particulier, le point de rebroussement A’ de la développée est à une distance du sommet À :

AA AO 3. — Le problème pratique ordinaire (Voir Mécanique, $ 178)

consiste à faire passer une chaînette, d'axe Oy vertical et de longueur /, par deux points dont la distance verticale est b et la distance horizontale a.

Appelons +’ et x" les abscisses inconnues de ces deux points; y! et y” leurs ordonnées, s’ et s” les arcs comptés à partir du point le

plus bas. On a :

b=y—y" = h (cosh Ÿ — cosh ai las res sh (sinh + — sinh F} B— 35h (— 2-2 cosh F cosh Ÿ — 2 sinh sinh =). B— = (—2 + 2 cosh }=2n(—1 + c0sh Ÿ).

D'où enfin : 2—h—4}?sinh? 9 VE — RP? —2h sinh 57.

Pour déterminer À, on est ramené à l'équation transcendante : sinh æ — kx.

Sa résolution ne présente aucune difficulté, grâce à la table numérique du $ 218. On détermine l'intersection des deux courbes :

y,—=sSinh>, Yo = kr.

Il suffit de construire la première au voisinage du point d'intersection dont on connaît immédiatement la position approchée.

. ; : e“* e 4 217. Cosinus hyperboliques : LE u [0 1 2 3 4% 5 6 7 8 9 0,0 | 1,0000! 1,0001| 1,0002| 1,0005| 1,0C08] 1,0013| 1,0018| 1,0025| 1,0032| 1,0041 0,1 0050! 0061! 0072] 0085 0098! 0113] 0128] 0145] 0162] 0181 0,2 0201! 0221] 0243] 0266] 0289] 0314] 0340] 0367 0395] 0423 0,5 0453/ 0484! 0516| 0549] 05841 0619|[ 0655] 0692] 0731] 0770 0,4 0811] 0852] 0895] 0939] 09841 1030/ 1077] 1125] 1174] 1225 2,5 1437 pre F3us ia Lau 1,1551| 1,1609| 1,1669| 1,1730| 1,1792 , 5 9! 2188] 2258] 233n| 2402] 2476 0,7 2552| 2628] 2706] 92785] 2865] 2947| 3030] 3114] 3199] 3286 0,8 3374 3464 3555| 3647] 3740) 3835] 3932] 4029] 4128] 4229 0,9 4331! 44341 4539] 4645] 4753] 4862] 41973] 5085] 5199] 5314 pete 1A0S Fe 1,5790| 1,5913] 1,6038| 1,6164| 1,6292| 1,6421| 1,6552 , 5 956| 7093] 7233] 7374] 7517] 7662] 7808] 7956 1,2 8107| 8258] 8412] 8568] 8725) 8884] 9045 9208] 9373] 9540 1,3 9709! 9880] 2,0053| 2,0228| 2,04041 2,0583| 2,0764] 2,0947| 2,1132| 2,1320 1,4 | 2,1509! 1700] 1894] 2090! 2288) 2488] 2691| 2896] 3103] 3312 :e S de re 2, Fin dev 2,402 . gs de 2 Fes ; { 995 24 4) 76 20 1,7 8983] 8549] 8818] 9090! 9364] o642| 0922! 3,0206| 3,0492| 3,0782 . 3,1075 31371! 3,1669! 3,1972] 3,2277) 3,2585| 3,2897| 3212! 3530 3852 , 4177] 4506! 4838] 5173| 5512] 5855] 6201] 6551] 6904! 7261 gs 3,71022 3,7987| 3,8355| 3,8727| 3,9103] 3,9483| 3,9867| 4,0255) 4,0647| 4,1043 LE is 4,1847! 4,2256| 4,2668| 4,3085] 4,3507| 4,3932| 4,4362| 4,4797| 4,5236 s 4,9679! 4,6127| 4,6580| 4,7n37| 4,7499] 4 ’1966| 4.8437| 4:8914| 4,9395| 4,9881 2 9,0372! 5,0868| 5,1370) 5,1876| 5,2388] 5,2005| 5,3427| 5,3954) 5,487] 5,5026 2,4 | 9,5969! 5,6119! 5,6674| 5,7235| 5,7801] 5,8373| 5,8951| 5,9535| 6,0125| 6,0721 2,5 | 6,1323| 6,1931| 6,2545| 6,3166| 6,3793] 6,4426| 6,5066| 6,5712| 6,6365| 6,702: 2 6 6 7690 , ? ? ? , , ?

mr 6,8363| 6,943) 6,9729| 7,0423] 7,1123| 7,1831| 7,2546| 7,3268| 7,399 , 7,4735| 7,5479! 7,6231| 7,6990| 7,7758] 7,8533| 7,9136| 7,0106| 8,0905| 8,1712 8,2527| 8,3351| 8,4182| 8,5022| 8,5871| 8,6728| 8,7591| 8,8469| 8,9352| 9,02i4 59 | 9,1146| 9,2056| 9,2976| 9,3905| 9,4844) 9,5791| 9,6749| 9,7716| 9,8693| 9,9680 3,0 | 10,068 |10,168 |10,270 e , à cui , 12 10,373 |10,476 | 10,581 [10,687 | 10,794 |10,902 |11,011 Es re or 11,945 [11,459 [11,574 11,689 [11,806 [11,925 [12,04 | 12,165 ’ de 4 ,534 [12,660 112,786 |12,915 [13,044 [13,175 [13.307 | 13,140 2e [19,575 [14,741 |13,848 |13,087 |1 4497 f14969 [14410 14,556 [14,702 | 14,850 »4 114,999 115,149 115,301 [15,455 [15,610 115,766 115,924 [16,084 | 16,245 | 16,408 8,5 |16,573 |16,739 | 16.907 LR Pa LEE pe: 119% ,907 117,077 |17,248 117,421 117,596 [17,772 [17,951 |18,131 A 18,407 | 18,682 18,870 |19,059 Î19:250 [19,444 [19,630 | 19,836 | 20,035 Ù 2 1439 12,614 |20,852 121,061 121,277 | 21,486 | 21,702 | 21.919 | 22,139 28 [22,362 |22,586 | 22,813 23,049 [23.973 193.508 [23,743 |23,082 [21,222 | 21,466 19 |24,711 124,959 | 25,210 |925,463 | 25,719 | 25,977 | 26,238 | 26,502 | 26,768 | 27,037 à Los 27,582 |27,860 |28,139 | 28,422 | 28,707 | 28,006 | 20,287 | 29,581 | 29,878 re + ge su 70 31,097 | 31,409 31,725 | 32,044 | 32,365 |32,691 | 33,019 ? ) , 4,024 | 34,366 | 34,711 35,060 | 35,412 | 35,708 | 36,127 | 36,490 36,897 |37,227 | 37.601 | 37,070 38,360 138.746 [391135 |39:528 |39,025 | 40,326 »4 | 40,732 41,141 [41,554 | 41,972 | 42,393 À 42,819 | 43,250 | 43,684 | 44,123 | 41,566 PA ! » La 7 D. AE 45,923 46,385 |46,851 | 47,321 |47,707 | 48,277 | 48 762 | 49,252 hole 50,752 151,262 [51,777 152,297 [52,823 | 53,354 | 53,890 | 54,431 AR NET 99,931 [56,089 156,652 | 57,221 157,796 | 58,377 | 98,964 | 59,556 | 60,155 RE eV 61,370 161,987 |62,609 |63,239 163,874 |4,516 [65,164 | 65.819 | 66,481 , , 67,823 |68,505 | 69,193 |69,889 170,591 | 71,300 | 72,017 | 72,741 | 73,472