Notion d’opération et d’opérateur

Jusqu'à présent le lecteur n’a rencontré que les opérations algébriques auxquelles il est habitué (addition, soustraction, … plus ou moins généralisées. Outre son utilité pratique considérable, la Théorie des quantités complexes offre l'intérêt de généraliser LA NOTION d'opération et d’opérateur, de montrer comment on construit une théorie mathématique.

Nous pouvons définir arbitrairement des opérations et les opérateurs qui les produisent, à la seule condition qu’il y ait compatibilité. Dans l'espèce, tout repose sur un opérateur que nous désignons par la lettre : et qui, mis en facteur, jouit de la propriété de faire tourner de 90° les droites du plan. Les opérations usuelles de l’Algèbre, appliquées sans autre modification que de remplacer partout & par — 1, produisent des résultats tout différents de ceux que nous connaissons. L'addition devient une composition suivant la règle du parallélogramme, la multiplication se traduit par une rotation, L'ensemble: de ces résultats très simples constitue le Calcul des Imaginaires.

Nous savons par hypothèse que les opérations admises sont légitimes (ce qui signifie qu’elles ne peuvent pas conduire à des résultats contradictoires). Nous ferons donc fonctionner la machine que nous allons construire : elle nous fournira indéfiniment des identités qui, convenablement interprétées, seront autant de théorèmes. Du reste, nous pourrions établir directement la plupart d’entre eux, d’une manière moins élégante, il est vrai.

Le débutant trouvera dans cette circonstance à la fois une raison de confiance et une preuve de l'importance du Calcul des Imaginaires.

Ce calcul se rapporte au plan; ses opérations peuvent être généralisées pour l’espace : on obtient alors le Calcul des Quaternions. Mais elles deviennent plus complexes, et leur difficulté n’est pas compensée par l’importance des résultats. Nous n’en dirons rien.

THÉORIE DES QUANTITÉS COMPLEXES

En résumé, nous conseillons au lecteur de chercher, en étudiant ce Chapitre, à comprendre en quoi consiste une opération mathématique, la part d’arbitraire qu’elle renferme, enfin la nature de la certitude qu'elle présente, certitude absolue en un sens, puisqu'elle est de définition.