Définition des quantités complexes
1°. — Dans le plan soient tracés deux axes rectangulaires Ox, Oy. Jusqu'à présent nous avons considéré les distances d'un point P à ces axes comme de même espèce; nous allons maintenant les regarder comme d’espèces différentes, irréductibles les unes aux autres. Les distances à l'axe Oy
(abscisses) seront dites ré- AT. EN vd
elles; les distances à l’axe | è Ox (ordonnées) seront dites ne imaginaires. Le lecteur voudra bien dès à présent a donner aux mots réel et imaginaire, non leurs sens Z 2 vulgaires, mais leurs sens C œ de définition. I n'y a rien B que de très réel au sens vulgaire dans les quantités imaginaires.
®. — Un point P du plan est défini par une quantité complexe, c'est-à-dire formée d’une quantité réelle et d’une quantité imaginaire. Pour ne pas les confondre, nous mettrons la lettre : en facteur de la quantité imaginaire. Le point P est donc complètement défini par la quantité complexe :
a + bi. (1)
Nous pouvons convenir que le même symbole a-L bi représente, non plus le point P, mais le vecteur OP mené de l’origine au point P. Il va de soi que les quantités a et b sont susceptibles de signes : par convention, a est compté sur Ox positivement à droite de 0, négativement à gauche de O; b est compté sur Oy positivement audessus de O, négativement au-dessous de O.
3. — Multiplier une quantité réelle par le facteur à, c'est la transformer en une quantité imaginaire : le vecteur représentatif OA réel et positif vient en OA’; le vecteur OC réel et négatif vient en OC.
Dans ces deux opérations, on peut dire que le facteur à est un opérateur qui fait tourner de 90° dans le sens de la flèche le vecteur auquel on l’applique.
Cherchons à quelles conditions cette règle deviendra générale.
Ce
Fig. 163.
Soit OP un vecteur a—-bhi; le vecteur OP’ obtenu en faisant tourner OP de 90° dans le sens de la flèche, a évidemment pour symbole — be ai. Pour que la règle é Sonde soit générale, nous devons avoir identiquement :
(a bi = — b+ ai, d'où :-. ——1.
Nous conviendrons d'appliquer aux quantités complexes les règles ordinaires du calcul algébrique et de remplacer er ® par — 1.
#. — Le lecteur doit se garder de poser i—Y— Le signe à indique qu on porte une quantité réelle dans une un. direction ; c'est aussi un opérateur qui fait tourner un vecteur de 90°. Effectuer deux fois l'opération {multiplier par i, puis encore par i, ce que, pour faire bref, nous énonçons multiplier par À), c'est donc retourver un vecteur, c’est changer son signe; l'opération &? est donc identique à l’opération soustractive. Nous n'énonçons pas autre chose; il n’y a là rien de mystérieux, rien d'imaginaire au sens vulgaire du mot. :
222. Somme, différence des quantités complexes. 1°. — Pour définir l'extrémité d’un vecteur, nous pouvons utiliser les coordonnées polaires, au lieu des coordonnées cartésiennes. Nous écrivons symboliquement :
OM— m (cos y —isin u). (2)
m est le module, y l'argument de la quantité complexe. Nous pouvons supposer 72 positif; si m est négatif, nous remplacerons y par u—+x, et par suite m par —7n.
Les équations (1) et (2) ont une interprétation remarquable que nous généraliserons.
On appelle somme géométrique de deux vecteurs la diagonale du parallélogramme construit sur ces vecteurs; autrement dit, la résultante de ces vecteurs. On a donc l'équation symbolique :
