Coniques homofocales

Utilisons la fonction transformatrice (K 212) :

2w — 2a cosh 3 — a exp (x —+iy) Laexp(—xr—iy); 2(o + 19) — ae*(cos y + i sin y) + ae “(cos y — isin y). D'où : o —acosy coshr, — a sin y sinh x.

Eliminant y ou + entre ces deux équations, on trouve les faisceaux :

er as se 4", (1) \

sinh? ) 2 12 ? Not da RE rss (2) y y

Les courbes (1) sont des ellipses (fig. 176); les foyers sont distants du centre de : |

a Ycosh? x — sinh? x —+ a.

vs

TIQ UES

k Ne

28 COURS DE MATHÉMA in Les courbes (2) sont des hyperboles (fig. 176); les foyers sont

distants du centre de :

a Vcos? y + sin y ——+ a.

Donc les coniques homofocales se coupent à angles droits.

nu 241. Transformation réciproque.

Dans les deux paragraphes précédents, nous prenons, pour

courbes à transformer, les droites du plan z parallèles aux axes; les courbes transformées sont dans le plan w. Nous pouvons au contraire prendre, pour courbes à transformer, les droites du plan w parallèles aux axes; les transformées sont dans le plan 3.

Elles ont pour équations :

OT, Y) = Do, dx, y)= Vo.

Les relations (2) du $ 236 donnent immédiatement la relation : do Ôp , do YO

de de | Dy dy — qui exprime que ces courbes sont orthogonales (comme nous le

savons du reste). En effet, pour déterminer respectivement les pentes de ces courbes, on a les deux relations :

Fig. 176.

SA (4

do do Ve dy do . do Dada Me di Ge hop dy NU dy . dv . dv MD ag 90 do van t Écrivons que le produit des pentes est égal à —1. Nous retrou-

vons précisément la condition (1).

Analyse vectorielle.

L'analyse vectorielle entre de plus en plus dans la pratique; donnons-en une idée sur des problèmes plans. Elle repose sur la convention de considérer comme somme (géométrique) de deux vecteurs la diagonale du parallélogramme construit sur ces vecteurs, c'est-à-dire