Faisceaux de courbes Sr hogbmilles : De SENIeE

tion w"—kz.

Choisissons comme transformateur la fonction : w"— kz.

= (9 + id)" — p" (cos nô + i sin n0) — k(x + iy) ; p" cos n0 — kx, o" sin n0 — ky. (4)

Prenons pour courbes orthogonales dans le plan 3 les droites parallèles à Ox et à Oy.

Une droite parallèle à Ox est définie par une valeur y, de y; la valeur de x reste arbitraire.

A cette droite correspond dans le plan w une courbe :

: p" sin n0 — Ayo. (2)

De même à une droite parallèle à Oy et définie par une valeur x, de x, correspond dans le plan w une courbe :

p" cos nô — kx,. (3)

Les courbes des faisceaux (2) et (3) sont orthogonales. Dans ce quisuit, nous écrirons x et y au lieu de x, et y,; nous poserons: k—1. fin. |

Les faisceaux (2) et (3) dans le plan w sont les droites parallèles à Oo et à Oy.

D, —n—2:: On a:

DVD, obtenu:

Les courbes dans le plan w sont : les hyperboles RS asymptotes aux bissectrices des axes, les hyperboles équilatères asymptotes aux axes. On les obtient en donnant à x et y diverses valeurs.

PP. — n—=—2.

HUILE = Ne CERN CE RE d(@? + 4°)? + de — pi —0, de TS (4) Les faisceaux de courbes orthogonales sont constitués par des

lemniscates.

Les lemniscates se présentent dans la solution du problème général suivant : on demande le lieu des points tels que le produit de leurs distances à deux points fixes F et F' soit constant ($S 399).

Déterminons le milieu O de FF’. Si le produit constant est égal à OF, l'origine appartient au lieu cherché ; par définition, la courbe est alors une lemniscate.

On peut écrire la première équation (4) :

ar Aer ot Cr +) + 7

… Elle exprime que la courbe est Le lieu des points dont le produit 8 des distances aux points F et F’ tels que OF—OF'—1:1V2r, est 4 constant et égal à 1:2x. 2

On vérifiera : 1° que les tangentes à l’origine sont les bissectrices

Fig. 15.

des axes; 2° que les maximums de % sont sur le cercle’de centre 0 et de rayon OF.

On peut écrire la seconde équation (4) :