La série : TH
est convergente pour æ<1, divergente pour æ = 1.
RE x" +1 a
n CAT a vtt"
La limite de ce rapport est æ quand n croît indéfiniment. Donc pour que la série soit convergente, on doit avoir æ<1. Nous verrons ($ 252) que la série est divergente pour æ—1, et a fortiori
pour æ > 1.
On a en effet ‘
252. Emploi d’une fonction continue comme génératrice de la série de comparaison.
Soit une fonction continue 7y—/f{x). Calculons la valeur de y
pour æ—1, 2, 3, …. n... Nous obtenons des ordonnées ,, y:, .… Yn,1. Nous pouvons considérer les différences de ces ordonnées Uy= Yi — Yo, U—=YI—Y1, .… comme les termes d'une série que
nous savons convergente ou divergente. Il suffit de voir si (oc) a une valeur finie ou non.
La série u peut nous servir de série de comparaison. Pratiquement il n’est pas nécessaire de calculer exactement les
‘le | COURS DE MATHÉMA TIQUES s GÉNÉRA LES.
termes u,, u,, ... : il nous suffit d'en avoir une clito par excès ou par défaut, suivant les cas. Voici deux exemples simples. 1°. — Non: voulons montrer Lu la série :
da (1)
est divergente. Considérons la fonction : y—logzx. Elle devient infinie quand x croît au delà de toute limite. D'ailleurs on a :
log (+ 1) — log n < +. (2)
En effet : dlogx—dr:x. Quand x est compris entre n et n—1, la dérivée est donc comprise entre 1:n et 1:(n--1); elle est donc inférieure à 1:77. Pour l'accroissement 1 de la variable, l'accroissement de la fonction est donc inférieur à 14 :n.
La somme des n premiers termes de la série (1) est donc supérieure à :
(log 2— log 1) + (log 3 — log 2) +. + [log(n+1)—logn] — log n — log 1 — log n.
Donc la série (1) est divergente.
Il est remarquable que les points figuratifs de la série (1) tendent à se mettre exactement sur la courbe :
y = 0,576 + log (x + 0,5). (3)
Ainsi :
VE 2,288, log 5,5—1,703: 2,283— 1,703 — 0,578,
ÿ'= L 3398, log 50,5— 3,922: 4498 — 3.999 — 0.876.
®, — Nous voulons montrer que la série :
1 1 1 tata te ++. (4)
est convergente si &«>>1. Considérons la fonction : — | s— TERRE 4 (5)
Les points figuratifs des sommes partielles successives de la série (4) finissent par se mettre sur la courbe (5), où la quantité S est une certaine fonction de x à déterminer. En effet, la dérivée
de (5) est : Li ROSES RS
La différence finie Ay pour Ax—(n—1)—n, est donc aussi
DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE 303 | voisine que nous voulons de l'accroissement de la série (4) quand nous passons de n à n—1 termes : il suffit de prendre n assez grand. La courbe discontinue (4) et la courbe continue (5) tendent
donc asymptotiquement l’une vers l’autre. Or, si 4 est = 1, la fonction (5) tend vers la valeur S pour æ—. Donc la série (4) est
convergente.
Voici les valeurs À des séries (4) pour diverses valeurs entières de «.
2 È x 2 2 2 2 1,64493 6 1,01734 10 1,00099 *3 1,20206 7 1,00835 al 1,00049 & * 1,08232 8 1,00408 12 1,00025 5 1,03693 9 1,00201 13 1,00012.
