Développement en série. Formule de Taylor

1°. — Montrons d’abord que toute fonction entière de x+h (S 36), f(x—+h), peut être mise sous la forme : h ty: 4 h? 11 fe+h=re) +++ le) + (D f', [”, .… sont les dérivées successives de f(x) par rapport à x.

Le nombre des termes du développement est fini, car la dérivée m-1°" d'un polynôme de degré m est nulle.

Il suffit de prouver le théorème pour la fonction Afx+h})", la dérivée d’une somme étant la somme des dérivées. Il suffit même d'étudier (æ—+h)"; on multipliera ensuite tous les termes par A.

On a, d’après la formule du binôme ( 12) :

fe) (eat ar PE nt (2

Or Fa), Jr) matt, : flo) mes Par +...

Substituant dans (2), on retrouve (1). GC. Q. F. D.

2%. — Quelle que soit la fonction /f(x—h), nous pouvons toujours poser. :

f(&+h)=A; +A;h-+A,R +... LA,RLR(x,h), (3) où AÀ,, À,, .… A, sont des fonctions arbitrairement choisies de x, où Rx, h) est une fonction de x et de À à déterminer. En effet, Le reste R étant d’abord indéterminé, nous pourrons toujours le choisir de manière à transformer (3) en une identité. L’intéressant n’est donc pas de développer f(æ—+h) suivant les

: 58 VELOPPEMEN TS EN er

D sances de h; c’est de trouver pour les fonctions At), A(x},:: A,(æ), des formes telles que le reste R ail une expression aisément calculable.

Nous sommes naturellement conduits à essayer pour les fonctions A les formes qui réussissent parfaitement bien pour les fonctions entières (puisqu'elles annulent le reste R, à la seule condition de prendre un nombre de termes égal au degré augmenté d’une unité). Nous écrirons donc avec Taylor :

fe h) = f{e) + fe) + re + + Era)ER,

n!—factoriellen—1.2...n

Nous pouvons toujours poser l'identité (4) sans contradiction, puisque R est encore à déterminer. Mais le développement n’a d'intérêt : d’abord, que si nous parvenons à trouver la forme du reste; ensuite, que si la valeur du reste est négligeable à la seule condition de prendre un nombre convenable de termes.

REMARQUE

Les développements en série servent à deux fins qu'il faut soigneusement distinguer.

Ou bien nous voulons obtenir une série infinie qui soit équivalente à la fonction donnée, dans un intervalle déterminé pour la variable. Il est clair qu'alors la série doit être convergente.

Ou bien nous nous proposons seulement de calculer numériquement une fonction donnée. Or on ne calcule pas des séries infinies; on se borne nécessairement à un petil nombre de termes. I] devient alors indifférent que la série indéfiniment prolongée suivant la même loi soit convergente ou non. Il suffit que le reste devienne suffisamment petit, quand on prend un nombre convenable de termes (par convenable, 11 ne faut pas nécessairement entendre grand).

On verra, par exemple ($ 262), qu'il est possible de calculer certaines fonctions au moyen de séries qui non seulement sont divergentes, mais dont les termes, d’abord décroissants, passent par un minimum pour un certain rang, ef croissent ensuite indéfiniment. Naturellement il en est de même pour le reste. Si ce reste est facile à évaluer et passe par un minimum suffisamment petit, la série est parfaitement utilisable.

255. Restes des formules de Taylor et de Maclaurin. 1°. — Considérons la fonction de z :

p(z) = f(x + h) — f(3) — is ti [(z)—

CR pet) — (oh). (1)

Cours de Mathématiques générales. — H. BOUASSE. 20

Cours DE MA ATHÉMA FOURS GÉN À

o(z) os identiquement pour PAR. ob h)—0.

Nous voulons trouver une quantité S indépendante de z, et telle qu'on ait également ox) —0.

D'après Le $ 4155 : o(æ+h)—o(r)—hp(x+06h), 0<0<1.

Puisque nous avons par hypothèse :

il existe une valeur de z intermédiaire entre x et 24h pour laquelle z)—=o(x+06h)—0. ,crivons qu ‘il en est ainsi. Or :

(a) =— (a) HP) — (eh — 5) fe) + 2.

+ pe rtf) (RE) (eh aps.

Tous les termes du second membre disparaissent, sauf les deux

derniers. D'où les conditions corrélatives :

RG SS o(x+6hk)—0, re nl +1) a (x + 0h).

Si 6 est convenablement choisi entre 0 et 1,on a: o(x)—Ù. Faisons donc 3—x, dans la formule (1); substituons à S sa valeur; enfin posons (x) —0. Il reste la formule de Taylor :

fe+h=fle) + fete + (+R; (2 REED Pet) Û

L'exposant k est arbitraire; à chaque valeur de k correspond une valeur particulière de 6.

On utilise principalement deux formes du reste.

D. ___ RESTE DE LAGRANGE. Posons k—n :

h"*+1 = pr le +0) 3. — Reste pe Caucay. Posons k—1 :

h'* À { LUS: ( n R — 3 ) f(x 6h).