FORMULE DE MACLAURIN
Faisons æ—0, dans la formule (2) qui est une identité pour toute valeur de x et de h; remplaçons À par x. Nous obtenons :
fa) = (0) + 4/0) +. +0) HR:
x"t! as
RP (e), Re CU pr (ba).
DÉVELOPPEMENTS EN RE # 256. Développements du logarithme et de l’exponen-
tielle.
1°. — Soit à développer e* en série. On a (K 197) :
d'e” | > SU:
dx
par suite, toutes les dérivées /"(0) sont égales à l'unité, D'où :
PRE Let. LE (?)
Or e! est essentiellement fini. En vertu du $ 251, le reste s'annule donc quand n croît indéfiniment, quel que soit x. Par suite, on peut considérer la série indéfiniment prolongée comme représentant e*; elle est convergente quel que soit æ (K 251).
Si on utilise un nombre fini de termes, on commet une erreur égale au reste, et dont il est facile d'évaluer une limite supérieure.
Généralisons; on a : log a° — x log a, der,
Pour développer 4°, on remplacera donc dans la formule (1) æ par x loga, et et® par at.
2, — Soit à développer log (1 + x).
On a : fæ)=+1.2..(n—1)(1 Hz)",
Fe) 1 F 2 Re (n—1Ajn(i LL pæ) ="!
D'où :
gti
2 Eu É É PR Mt on. RE TEE: (2)
La série indéfiniment prolongée 'est divergente pour æ=>1. Nous sommes par conséquent assurés qu'indéfiniment prolongée, elle ne représentera pas log(l—x). Non seulement elle est divergente, mais pour peu que x soit grand, les termes croissent immédiatement; nous ne pourrons donc pas davantage nous en servir pour calculer log(i+zx), en la limitant à un nombre fini de termes.
Pour æ<[4, la série indéfiniment prolongée est convergente et représente log(1+-x). Pour le montrer, il suffit de prouver que le reste diminue au delà de toute limite, quand x augmente indéfiniment.
En effet, l’égalité (2) est une identité pour une valeur convenable de 0; Jlog(1—z) est certainement fini. Si donc le reste diminue indéfiniment, la série est convergente et représente log (1 + x).
Il en est évidemment ainsi quand x est positif, puisque :
On élève donc à une puissance indéfiniment croissante un nombre inférieur à l'unité; de plus, ce qui accroît la rapidité de la décroissance, on divise le résultat par le nombre n+1 qui croît indéfiniment.
Si + est Dei utilisons la seconde forme du reste s .. ({1—6)" ( z—Gx\" x SU n +1 n +1 “NL Be Du re (us (+ 6c)" ue) 1 + 6x ‘ Posons æ——77; 2 —02—— (y —0y), 107 — 1 — 67.
Ona: y—6y<1—6y, puisque y est positif et <1. Donc le reste contient en facteur une puissance indéfiniment croissante d’un nombre dont la valeur absolue est inférieure à l'unité : il tend
vers Ü quand n croît indéfiniment.
En résumé, pour toute valeur de x dont la valeur absolue est infé-
rieure à À, nous pouvons écrire :
: 4 El a? æ*
Remarquons que pour æ<T0, tous les termes de la série sont négatifs.
Pour fixer les idées sur le degré de convergence de la série, calculons log (1,5) et log (0,5); donnons à x la valeur +1: 2. On trouve immédiatement (à l’aide d'une table des inverses) pour valeurs absolues des termes successifs (multipliés par 10°) :
5000 1960, ALT, 456563: 96:41: | D'où : log(0,5) ——0,6923, log (1,5) —0,4059. La table du $ 194 donne log (0,5) —— log 2——0,6931. Une table de logarithmes vulgaires donne :
Log (1,5) —0,1761 ; d'où : log(1,5) de 0,1761 X 2,3026 — 0,4055. Naturellement la convergence est d'autant moins rapide que la valeur absolue de x s'approche davantage de 1. Pour æ—1, on a:
log 2 — 1 — 0,5000 + 0,3333, — 0,2500, 0,2000 — 0,1667 + …
La série converge (S 249, 3°), mais très lentement.
