Autres exemples

Voici trois autres exemples empruntés à Fourrier et représentés par les courbes de la figure 187.

Fig. 187.

I Fo) q— Le Ce EL.)

sinz sin2x sin. sin 4x I: Ffx)= —-— a+ 7 —— x +.

DT F{o)= (sine Sie Se Cours de Mathématiques générales. — H. BOUASSE. 21

Pr 4 L:

322 COURS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES Pour effectuer les intégrations, on usera des formules :

mx sin mx dx — cos mx dx — d(x cos mx),

mæ cos mx dre —— sin mx dx + d(x sin mr).

La période est ici 2r.

Ainsi voilà trois développements parfaitement équivalents entre 0 et r:2. Ils représentent tous les trois x:2. En particulier, fai- . .. sons æ—7T:2; la première série ne donne rien ; les deux dernières Re T 1 {1 { Le, deviennent : e HSE DES NS CURE, En

— de

Lu {4 1 2 7 ECM RARE re

Il va de soi qu'en dehors de l'intervalle O0 et r:2, les séries ne sont plus équivalentes. Les figures 187 représentent les courbes correspondantes.

On remarquera que la série II s’annule pour les valeurs +, 37, de la variable; elle fournit la moyenne des valeurs de la fonction discontinue qu'elle représente.

268. Développements des valeurs absolues d’un sinus et d’un cosinus.

Il est clair que le sinus et le cosinus sont à euxmêmes leur propre développement en série trigonomé:

“ra dE. SES trique.

Mais cherchons à déve- - lopper non plus le sinus, mais une nouvelle fonction égale aux valeurs absolues Fig. 188.

du sinus.

Elle reprend la même valeur pouræet x+7r (fig. 188). On trouve aisément :

r 1 cos 2x cos 4x cos 6x

PO MEET 58 Bat cv (l

Entre 0 et x, le développement vaut identiquement (x sin x : 4). Mais il vaut (—rsinzx:4) entre x et 2r.

Un courant alternatif redressé est représenté par la série (1).

Il est intéressant de voir une fonction impaire telle que le sinus développée au moyen d’une fonction paire ; mais le fait de ne prendre que les valeurs absolues transforme la fonction impaire quest le sinus, en une fonction paire.

| | DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE 323 269. Décroissance des termes de la série, 1°. — Montrons d'abord que les termes de la série décroissent au

moins comme l'inverse du numéro d'ordre, 1 : n. ET TRES 2x - FSC er l'intégrale : F(x) sin nr . dr.

L'intervalle de 0 à 27 contient n périodes du sinus. La figure 189 suppose 1—3.

Dans ce cas, pour avoir les éléments de l'intégrale, il faut multiplier F(x) par un facteur qui prend alternativement trois fois # | B des valeurs égales et de signes contraires. Si, pendant une période, F{x) ne vario par, lu parie contes ""$ TR ui FENTE pondante de l'intégrale disparaît.

Lorsque nr augmente, la LE a

période de sin nx diminue en raison inverse de n ; pour variable que soit F{xz), ses variations pendant une pé- !___\7 ____\/ __. À FRET

riode deviennent de plus en plus petites : l'intégrale di- Fig. 189.

minue certainement.

Pour fixer une limite de sa valeur, remplaçons F{(x) par sa tangente dans l'intervalle d’une période du facteur sin næx. Calculons l'intégrale pour une période :

F 27 ax: f (aæ + b) sin nx . dr, l=—

H vient ($ 219) : S—a| — cos Lu td PL — TE.

Comme c'était évident a priori, b disparaît du résultat.

Si F(x) est une droite, a est constant : la valeur de l'intégrale pour l'intervalle 0 à 2r est : Ci a (SE — on

Même résultat pour une courbe quelconque, à la différence près que a représente la pente moyenne pour une période de sin næ. Ainsi, dans tous les cas, les termes décroissent au moins comme 4

S1 la fonction périodique F{+) est non seulement finie, mais continue, ilya compensation entre les quantités 27a : n° calculées , pour chaque période de sinnx, au moyen de la pente moyenne à de F(æ

A une pente positive doit sucèéder une pente négative; le produit Ya

reste fini, et les termes décroissent comme 1 : »°. Nous n'’insisterons pas sur la démonstration de ce théorème, du reste très important, qui se vérifie dans les exemples des KK 266 et 267.