Calcul des coefficients
Soit une fonction F(x) à représenter entre les limites 0 et 2z Admettons que ce soit possible au moyen du développement :
F(x) — À, sin x + A, sin 2x +... + A, sin nx + … + B, + B, cos & + B, cos 2x + ...+B, cos nx + … ou du développement équivalent : F(æ)— B,—+ a, sin (x — «,) + a, sin (2% — a) + 2 —- a, sin (næ — «,) + …
Nous pouvons calculer aisément les coefficients de la série (1). Multiplions les deux membres de (1) par sin mx ou cos mx; intégrons entre 0 et 2r. Nous trouvons trois sortes d'intégrales (K 48) :
27 27 É sin MT COS NT. = f [sin (m—n)x—+ sin (m—n)x|dx, 0 0
qui est nulle quels que soient les entiers m et n;
2r 2x LÉ sin MX SIN NT . dr f [cos(m— n)x— cos(mn)x|dx
di
qui est nulle quand m diffère de n, et vaut + quand m—n>>0;
27 27 cos mx cos nt . dr 5 / [cos (m— n}r + cos (m + n)r|dæ, 0 0 qui est nulle quand m diffère de n, vaut + quand m—n>>0û, enfin 27 quand m—n—l.
D'où les valeurs cherchées des coefficients de la série (1)
1 2r ñ 27% A,— — F(x)sin nx . dx, BE F(x) cos nx . dr, L 0
D, = F(x)dx.
Connaissant A, et B,, on calcule a, et +, par les formules : a, — À; + B;, tra, Bb, ;A,.,
qui résultent de l'identification des séries (1) et (2).
Nous admettons le développement possible : c'est une hypothèse à justifier ($ 270). Toutefois le calcul précédent ne suppose absolument rien sur la fonction F(x), sinon qu'elle ne devient pas infinie entre les limites d'intégration 0 et 27. Tous les termes des séries étant périodiques et admettant 27 comme multiple de la période, la fonction F(x) est elle-même périodique et admet 27 comme période.
Elle peut être aussi discontinue qu'on voudra. Toutefois il est bien évident que la série trigonométrique, n'ayant pour chaque valeur de la variable qu'une valeur unique et bien déterminée, ne peut représenter da fonction F (x) pour les valeurs particulières de la variable pour lesquelles celle-ci est discontinue, c’est-à-dire possède deux valeurs différentes. On démontre que la valeur de la série pour ces valeurs de la variable est la moyenne des valeurs que F(x) y prend ($ 270).
Nous n'insisterons pas sur ce cas.
Aussi bien nous pourrions supposer, sans restreindre le champ des applications en Mécanique et Physique, que la fonction F{x) est continue, ses dérivées pouvant être aussi discontinues qu'on voudra : ce qui supprime toute difficulté. En effet, la série de Fourrier sert ordinairement à représenter le mouvement d'un mobile, les oscillations de température, ... Or, s’il est logiquement, admissible que la vitesse varie brusquement, il ne l’est pas que le mobile occupe simultanément deux positions différentes, ou possède deux températures différentes.
Avant de discuter plus à fond les propriétés de la série de Fourrier, donnons-en quelques exemples.
| 520 | : Li ie cours DE MA THÉMATIQUES GE Les 266. Premier exemple.
NE Soit à développer en série trigonométrique la fonction périodique représentée par la courbe OABCDE, EFGHKI, .. (fig. 186). Posons : OUAzk:9r, ODA EE.
La fonction est donc partout nulle, sauf dans les intervalles AD, FK,... de grandeur (k'—k)2r, où elle est constante et égale
à F. On a:
ok
Na see sin nv .dx— {cos 2rkn— cos 2rk'n), iv 2kr in F 2k'r
Br = — Cos nr... dr — (sin 2rk'n — sin 2rkn). A T
2kr
En particulier posons k—0, k'—1:2. Il vient : F@=r|E+ sin # + sin 3e + sin et. | (1)
La fonction f(x) vaut la constante F quand x varie entre 0 et 7, entre 2r et 37%, ... Mais
elle est nulle identique- DARAAE pie a A LEA RE Bee ES ment quand æ varie | nt entre et 2r, 3r et Fe AU NN Re AE Pour les valeurs 0, cou 1 FAR DT, c:
(0 A: D E Fe :K 1 A re Te Fig. 186. f (æ) F2.
Ainsi /(æ) représente la fonction donnée, sauf aux points de discontinuité pour lesquels | elle vaut la moyenne des valeurs de cette fonction. Comme la série prend des valeurs égales et de signes contraires | pour des valeurs égales et de signes contraires de +, on a : FA CE 5e T sin æ + sin x + sin 5... =, suivant que l'arc æ se termine dans le premier et le second quadrants, ou dans le troisième et le quatrième {sauf évidemment aux points intermédiaires diamétralement opposés, où la série s’annule). Pour montrer combien la série est peu convergente, faisons le calcul pour æ—#45 :
sin æ — sin 3% — — sin 5x — — sin 7œ — sin 9x — ... — (0,707. La valeur de la série est :
Rappelons que +: 20 185. L'Aalostion est erronée par défaut, puisqu'on s'arrête à un terme soustractif. En s’arrêtant au terme positif précédent 0,077, elle est erronée par excès : on trouve 0,8102.
Le calcul pour un arc voisin de O0 ou de + est très intéressant.
Nous pouvons trouver une infinité de développements trigonométriques représentant la même constante dans la première moitié de la période, et représentant une fonction arbitraire dans la seconde moitié.
Il est incorrect de dire que nous développons une constante en série trigonométrique. La série (1) entre crochets représente non pas la constante x:2, mais bien une fonction prenant 7:2 comme valeur dans une partie de la période, 0 dans une autre partie, enfin r:# pour certaines valeurs de la variable.
