Intégration

if > Considérons la tranche découpée dans le solide par les A4 Le Ê un. ir B pra é dy 7 ÿ == 0 D A B X0 Z % 0 2 TZ + Fig. 198. Fig. 499.

plans, parallèles à 303, dont les traces sur +07 sont les droites AB,

A'B", distantes de dy (fig. 198). Nous pouvons assimiler cette tranche

à un cylindre plat de génératrices parallèles à Oy. Évidemment ce

n'est rigoureux qu'à la limite (lorsque dy est infiniment petit), puisque

AA’ et BB'ne sont pas parallèles à Oy, et que la surface supé- Cours de Mathématiques générales. — H. BOUASSE. 24

Dr

Fi

ÉNÉRALES

rieure qui limite le solide, n’est pas un cylindre de génératrices paral-

lèles à Oy. Notre raisonnement est identique à celui de la Géométrie

élémentaire qui, pour évaluer le volume d'une pyramide, la découpe en une série de plaques qu'elle assimile à des cylindres.

Calculons le volume dV de la tranche. Il est égal au produit par dy de l’aire A:SBA de la section du solide par l’un des plans AB, A'B', section représentée à part (fig. 199) :

dV — dy Le zde = dy [F(x,) —F(x;)|.

La quantité entre crochets est une certaine fonction de y; nous pouvons écrire : dV — dy ® (y).

Pour avoir le volume total, il faut recommencer l'opération pour toutes les tranches dy, puis faire la somme. D'où le résultat :

1 Y1 D D (y) dy = dy | zdæ.

Yo To

L'intégration double revient donc à deux intégrations simples échelonnées ; l'intégration par rapport à y me peut être effectuée que lorsque l’intégration par rapport à æ a déterminé la fonction D{y) sur laquelle elle porte.

CA 2%. — Rien n'empêche de commencer par déterminer Le volume d’une tranche découpée au moyen de plans parallèles à z0y.

? On a :

Fig. 200. AV de [” zdy = (x) de.

X4 X4 Us V—f ‘dr (>) = dr | dy.

Xo 0

AY

Ye

Nous admettons que le résultat est le même.