EN
On a, quel que soit a :
” ab À , sin br sin 7 ——— dx — e a T :
et par suite :
nr 5 sin Gr x dx = ae pa dr. (7) di - 0
a AU æ sin br si L Le É :
Fr, Ô 0
ee
En particulier faisons 4—7. La première et la troisième intégrales représentent les aires OAB, OCD ; l'équation (7) exprime qu'elles sont égales. On démontrerait de même l'égalité des aires
BFG, DEB ; … et ainsi de suite.
de sin br L'intégrale : À ape LA : 2
se compose donc d'une série infinie de termes décroissants OAB,.
BFG,.. alternativement 7
positifs et négatifs, indé- ti pendants du nombre D. C
La série est convergente
(S249, 3°). L'équation (6) | ( ë
nous apprend que sa valeur est x : 2.
La figure 195 suppose. À = BEC DES, tous les termes de la RTE série changent de signes; la valeur devient —7 :2. 5°. — Nous pouvons considérer l'intégrale :
= red dx — o{b),
comme une fonction de b. La courbe représentative (fig. 196) se compose de deux droites AB, CD, qui s'arrêtent brusquement aux points où elles rencontrent l’axe des ordonnées. A l’abscisse h—Ù, . correspond la valeur y—0, moyenne des valeurs +7 : 2.
Intégrales doubles et triples.
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Ë 305. Définition des intégrales doubles.
1°. — Soit à évaluer le volume du solide limité par le plan æ0y, par un cylindre dont les génératrices, parallèles à Oz, s'appuient
sur une courbe ABCD ... A, enfin par une surface dont la distance des points au plan z0y est :
Découpons le plan x0y en éléments finis AS au moyen de deux faisceaux de courbes #1 (parexemple : desdroites parallèles aux deux axes de coordonnées; des g cercles concentriques B) 1 à D ayant O pour centre et Ne | des droites passant par Es ADN le point: 07: }1ELe À volume de chaque éléce | ment est approrimative- F ment zAS, où 3 est la 0 z hauteur qui correspond à un point de l'élément.
Comme rien ne fixe le choix de ce point, l’approximation est d'autant meilleure que nous diminuons l’arbitraire, c’est-à-dire que nous prenons les éléments plus
petits. ;
La valeur approchée du volume est :
— D zAS:
le symbole Z signifie qu'on prend tous les éléments AS du plan xOy qui se trouvent dans la courbe fermée ABC... A.
L'approximation ne dépend pas de la forme des éléments, pourvu que dans les divers modes de décomposition ils soient d’aires du même ordre. Elle est meilleure si, au lieu de prendre au hasard dans l’élément le point où l’on mesure la hauteur z, on le choisit toujours au centre de figure : 1l y a chance pour qu’une compensation plus exacte s'opère entre les parties moins hautes.et les parties plus hautes du volume élémentaire, à la condition que les variations de z soient suffisamment continues.
Quoi qu'il en soit, nous n’obtenons ainsi qu'une approximation.
®%. — Il s’agit d'obtenir une solution rigoureuse dans le cas où s'exprime par une fonction continue des coordonnées : ici interviennent les intégrales doubles.
Si les deux faisceaux de courbes sont des drdites parallèles aux axes de coordonnées (droites parallèles à Oy distantes de dx, droites parallèles à Ox distantes de dy), l'élément de surface est un rectangle dS— dx dy. La quantité à évaluer est :
V= ff sde dy. | Has
tn
Le symbole : | se lit double somme de. L'expression (2) diffère
de (1) en ce que nous imaginons pouvoir prendre les éléments dS infiniment petits, c’est-à-dire inférieurs à toute aire donnée à l'avance. L'expression (2) est la notation d'une opération que nous apprendrons tout à l’heure à effectuer.
Si les deux faisceaux de courbes sont des cercles ayant l’origine O pour centre et des droites passant par l'origine, l'élément dS est à la limite un rectangle : dS—r dr d.
La quantité à évaluer est :
V= ffzrdr db. (3)
Entre les coordonnées x, y, et les coordonnées 7, 6, on a les relations :
cærcos0, y—rsin0; r—va Lyt, 0—arctg(y:c); z est, au choix, une fonction de x et de y, ou une fonction de r et de 6.
Nous pouvons découper le plan x0y d'une infinité d'autres manières. Vous admettrons que le volume V calculé est toujours le même, quel que soit le découpage du plan, quelle que soit aussi la manière de grouper les éléments de volume une fois obtenus.
Pour calculer l'intégrale, il faut précisément les grouper convenablement.
