Moments statiques, moments d’inertie
Il faut choisir les axes de coordonnées et le mode de découpage du plan d'intégration, de manière que la première intégration soit immédiate. Donnons quelques exemples qui nous permettront de revenir sur les moments statiques et les moments d'inertie des aires planes ($$ 163 et 16%). |
1°. — Soit tracée dans un plan une courbe fermée. Découpons l’aire qu’elle limite en éléments dS ; appelons r la distance de chaque élément à une droite D du plan. Le moment statique M et le moment d'inertie I de la surface par rapport à cette droite sont définis par les
intégrales :
M— ffras. Fe f frs.
Généralement les calculs seront simplifiés si la droite D est un des axes de coordonnées (Ox, par exemple), et si le découpage se fait au moyen de droites parallèles aux axes. Les intégrales deviennent :
M ff dx dy, fes [| #° dx dy.
Une intégration est immédiatement possible. On obtient :
AR Pi a M= 5 f Qi yo)de, = { (yi— yo)de.
Xo Xo
Nous retrouvons ainsi les expressions des $$ 163 et 164.
3. — Mais ce mode de découpage n'est plus convenable dans le cas où l’on voudrait calculer le moment d'inertie d'un cercle de rayon R par rapport à une droite D passant par son centre et perpendiculaire à son plan. Nous conservons la même définition du moment d'inertie que plus haut : somme des produits des aires élémentaires dS par le carré de leurs distances à la droite D.
Prenons-la pour axe Oz.
Nous découperons le cercle en couronnes par des cireonférences de centre O, puis ces couronnes en rectangles curvilignes au moyen de
droites passant par le point O. Une intégration est immédiate, parce que tous les points de la couronne comprise entre les circonférences de rayon r et r + dr, sont à la même distance r de l'axe Oz. La couronne a donc pour moment d'inertie : son aire 2rr. dr, multipliée par r?, soit : 2rr°dr.
Le moment d'inertie total est :
: R 4 4 | I —f 2rr°dr — ..
| * 308. Cas particulier d’intégration double.
Voici un cas particulier d'intégration double dont les applications sont nombreuses.
f°. — Soit à évaluer la masse du solide dont nous avons considéré jusqu'ici le volume ; sa densité best par hypothèse une fonction de x et de y; elle est par conséquent la même sur toute droite parallèle à Oz. La masse totale est :
M= | | ele, y}s(e, y) de dy.
Le calcul se fait comme précédemment, puisque le produit de p(x, y) y par (x, y) estune fonction Z{x, y).
2. — Posons maintenant que & n'est fonction que de y, que z Y, n'est fonction que de, enfin que l’aire d'intégration ABCD sur le plan æ0Oy est un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes
“ie ID (fig. 201) :
de L z M— ff e(y)atr) de dy.
Puisque la hauteur z n’est fonction que de x, et puisque les limites d intégration par rapport à x sont constantes, je sections du solide pas des plans parallèles à æOz (tels que AD, BC... ..) sont identiques;
leur aire commune co est la constante :
T4 ne Ÿ z(x)dæ &o
La masse d’une tranche d'épaisseur dy et de densité p(y) est par
suite : 6. o(y) dy. La masse totale est donc :
Fig. 201.
D'où l'identité :
[so de . [ete dy = [ ['' stœ)etu) de dy.
Vo
A UE NE TN NS I OR SD PPS Te el MED PT Rs id) | INTÉGRALES DÉFINIES. INTÉGRALES DOUBLES UT
Lorsque les limites des intégrales simples :
fade, [and
sont constantes, leur produit est égal à la somme des éléments qu’on obtient en multipliant chaque élément de la première par chaque élément de la seconde; c'est dire qu’il est égal à l’intégrale double :
LT stœ)elo) de dy,
Il revient encore au même de dire que, pour obtenir la masse, il faut multiplier le volume :
a yo = (ny) far) de,
par la densité moyenne ($ 155, 2°) :
arme o(y) dy.
HAT To 1e
