Intégrale eulérienne de première espèce

1°. — On appelle intégrale eulérienne de première espèce la fonction B(p, q) de deux variables p, q, définie par l'intégrale : B(p, q)=[ 2'-(1—2) "dr. (4)

La fonction est symétrique par rapport aux variables p et q ; elle reprend la même forme en changeant x en 1 — x; on a B(p,q) —B(g,p). On peut lui donner deux autres formes usuelles.

Posons : x — cos 9, 1—x—sino, dx — 2 cos psin 9 dy!

B(p,g)=2 f * cos 9 . sin *® . do.

; g fl SN des à Posons : = TT, FR 1.0 dés TH ?

td B(p,q) — )=f à [cer . Pro 2. — On peut exprimer les intégrales de première espèce à l’aide

de la fonction l'. En effet, dans la fonction [' prenons pour variable æ? et y? à la place de x. On a :

. (p}=2f e#a-de, (2) murs 0 ; k l(g) =2 | e My dy.

En vertu du $ 308, nous pouvons écrire :

F(p)F )=4 ff" RP IN UE y :

Posons : ‘ r° D. z—=r cos, y = Tr Sin 9.

D’après la définition de l'intégrale double, remplaçons l'élément

d’aire dx dy par rdodr, puisque c’est maintenant r et © qui sont les variables indépendantes.

On trouve :

F(p) E(q) ar ee di}

PL RÉEL cos? "® ) sin? \@ : do.

D'où la formule fondamentale :

l'(p) I(g) B(p,q) — | PET» + 9) 3°. — Dans la formule (2), faisons 2p — 1 —0. Nous trouvons ($ 309) :

l né à.

fs) 2 [. e "dr =\r —1,1124 — 2 X0,8862,

4 conformément au tableau et aux formules du $ 311,#.