Voici enfin où nous voulons en venir

Représentons une aire plane S par un vecteur normal à cette aire et dont la longueur lui soit proportionnelle. Nous pouvons considérer ce vecteur comme la résultante de trois vecteurs dirigés suivant les ares Ox, Oy, Oz, et proportionnels aux projections de l'aire sur les

plans yOz, z0x, x0Oy.

Pour un parallélogramme et par suite pour un triangle, ie théorème résulte de ce qui précède ; il est applicable à une aire plane quelconque, puisqu'on peut toujours la décomposer en triangles.

Cette proposition est fondamentale en Mécanique.

327. Plus courte distance de deux droites D et D.. Pour la calculer, menons par D, un plan P parallèle à D; déterminons la distance d'un point quelconque À de D au plan P.

1°. — Les équations des droites sont :

Ver, Pi YEN (4) SR MÈNUE HNUE dm, n

Le plan : ax + by + cz —=d, (2)

#6 apr Pine TE de ax MAS >

devant être parallèle aux deux droites, écrivons que sa cet leur

est perpendiculaire ($ 324, 3°) :

al+ bm—cn—0, al, + bm, +en, = 0. (3)

Écrivons qu'il contient la seconde droite {$ 324, 4°) : ap, + bq, +cr, —=d. (4)

En définitive, les constantes du plan (2) doivent satisfaire aux équations (3) et (4).

2%. — Supposons-les calculées; pour avoir la distance cherchée, nous pouvons choisir arbitrairement le point À sur la droite D; prenons celui de coordonnées p,q;,r

Sa distance au plan P est ($ 321, 2°) :

ap gr me d (3) Va Era.

Il ne reste plus qu’à éliminer a,b,c,d, entre (3), (4) et (5).

3°. — Des équations (3) on tire (S 28) :

a—(mn,— nm,)u = Au, B—{nl, —In,)u — Bu, c—{(lm, — ml,)u — Cu,

où u est une variable auxiliaire qui disparaïtra par la suite. Transportons dans (#) :

d=\(pA +qB + rCju

Transportons dans (5) : 3— (per a ri)C

Nous connaissons donc la distance des deux droites, c'est-à-dire la longueur de la perpendiculaire commune ; il s'agit de déterminer sa position, c’est-à-dire les points de chaque droite auquel elle aboutit : c'est ce que nous ferons au paragraphe suivant.

328. Positions des points de deux droites dont la distance est minima.

Prenons les droites sous la forme :

æ = p + lé, — q + mé, z—r—#nt; pt, Yi=qi mit, 2=nH+nr.

La distance de deux points est :

(ee) + y) +... ={p—-ptlt fre.

Ecrivons qu'elle est minima. Dérivons donc successivement cette expression par rapport à £ et à +, et annulons les dérivées. On a :

Up—p;lt—l:] + ...—0, L{p—p;+lt— ir] +... —0.

Ca RE D he. 4

rimes par rapport à é et à =. Il vient le système d'équations du premier degré à deux inconnues :

un LP 2) Lmle—a + n(r—r,) =0,

QU + mm, + nn)jt— (li + mi + nie + lp — pi) + mg — qi) + n(r—r,)—=0.

Reste à résoudre par rapport à £ et à +.

Pour simplifier l'écriture, posons :

À = mn, —nm, B— nl, — In,, C= im, — ml,.

P=mir—r)—nigi—), Pim(ri—r)—n(gi —g), Q= Rp —p)—dh(r—7r), Q=np—p)—l{r—r), R— (gi —q)— mp; —p); Ri— lg —q)—m(p; —p).

On trouve aisément :

; APLBQ:ECR __ AP,+BQ, + CR, AU tie oc ASE EC

329. Variation de la distance des points de deux courbes gauches. Développée et développantes.

Soient deux courbes gauches (K 402) OAB, O,A,B, (fig. 212), dont les points sont repérés par leurs distancesrespectives £,7, à deux points O, O,, pris pour origines. Ces distances sont comptées sur les courbes mêmes (S 4).

Nous demandons comment varie la distance 3—AA,, de deux points pris respectivement sur ces

. courbes, quand ils se déplacent infiniment peu.

En vertu de la définition de la tangente à une courbe plane ou gauche (sa distance à la courbe est un infiniment petit du second ordre comparé à la distance au point de tangence), nous ramenons immédiatement ce

Fig. 212.

| COURS DE MA THÉMA TIQUES GÉNÉRALES ds

problème à celui des distances des points de deux droites. Soient donc les équations des tangentes en A et en À. :

æ—p+lé, y—=g—+mt, 3—=r—nl; Li—=Pi tt, Yi mur, m—=r nur. (4) P—(p—p+lt—1l)}+.… | dd —(p—p, + lt—lr,) (ldt —ldr) +... (2)

Prenons respectivement pour {, m,n;1l,, m,, n,, les cosinus directeurs des tangentes en À et en A,; { et + représentent alors ($ 323, 4°) les arcs de tangente ou, si l’on veut, les arcs AC AC, dont les points À et À, se déplacent sur leurs courbes respectives par suite du mouvement considéré.

Évaluons les cosinus des angles à, œ, PORDreRE à partir de la tangente correspondante vers la droite AA,.

Au point À, les cosinus directeurs de AA, sont (K 316, 2°) :

d'où ($ 316, 3°) : | dcosa— (x, —x)+m(y;, —y)+n(z — 3). (3) Au point A,, les cosinus directeurs de A,A sont : | D — Li Jore He S , 5 9 ÿ :

d'où: Ôôcosa—{l(r—x;)+m,(y —y;)n(z—z;). (4) Remplaçons dans (3) et (4) les coordonnées par leurs valeurs (1). Comparons à (2); on trouve la relation fondamentale :

di — — cos a . dt — cos « . dr. (5)

La Gus 211 montre la raison d’être des signes —.

Par exemple, quand A vient en C (dt 0), l'angle « étant aigu (cosa => 0), la distance AA, diminue (dd 0).

La formule (5) a de nombreux et intéressants corollaires. Étudions en particulier les diverses manières d’y satisfaire identiquement.

2%. — SrHÈRE.

Soit une droite invariable (dÿ—0), dont une des extrémités A est fixe (dt—0). On a donc identiquement cos a. dr —0.

Si l'extrémité A, est mobile, il faut que le cosinus soit identiquement nul, d'où x —7 :2. Donc quel que soit le mouvement de rotation de la droite invariable autour de A, elle reste normale aux trajectoires de son extrémité mobile A’ qui décrit évidemment une sphère.