Distance d’un point à une droite

1°. — Déterminons d’abord la distance de la droite D à à L'origine

; (fig. 211). Soit x, y, z, les coor- " .

D données d'un point M quelconque

de la droite. Abaissons la perpendiculaire OP. On a :

OP —OM* — MP — OM (1 — cos? :) — OM sin’ :.

û > Soit æ, &, y, les cosinus directeurs de la droite D; posons x’ OM—7r. Projetons sur D d’une R part la droite OM, d'autre part g np le polygone non représenté formé PRE des coordonnées du point M pla- Rte cées bout à bout. On a :

r cos e — ax + By +Ys; OP (a+ y + 2°) — (a By + y) — (yy— 28) + (2e — 2) + (@8 — ya) 2%. — Ceci posé, prenons les équations de la droite sous la

forme :

l M he | (1)

Substituons à x,y,2, et à «,f$, ; (S 323) leurs valeurs dans l'expression de OP.

Il vient :

pe eg mr) + (tr np} + (mp—iq} can ari l? + m° + n? 4 3. — Soit maintenant %,, Yr, %, les coordonnées du point dont nous voulons la distance à la droite. Ramener l’origine en ce point, c’est retrancher >, à tous les æ, y, à tous les y, 3 à tous les z.

Ra ee Po EN et $

| PLAN, LIGNE DRO | S DE COORDONNÉES 393 Pour que les équations subsistent, il faut donc remplacer : PEPRE CPR RP TNT EE PAT TT Yo:

La distance cherchée est par suite :

op [9—v0)— mr 20) + {Ur 20) — n(p— %0)) + [mp — &0) — {g — y0)f

326. Moment d’un vecteur par rapport à un point; projections et représentation d’une aire plane. 1°. — A partir du point M menons sur OD le vecteur de longueur F, par suite de composantes :

X— Fa, TF6, Le FX,

Évaluons l'aire S du parallélogramme construit, dans le plan OMD,

sur les deux vecteurs F et OM. Elle est :

SF. OM ane EF OP:

Le paragraphe précédent donne immédiatement : S—(yZ—Y} (EX — eZ) 4 (eV — y} (1)

2%. — Considérons maintenant les projections $S,, S,, S., du

parallélogramme sur les plans normaux à Ox, Oy, Oz.

Sans qu'il soit nécessaire de refaire les calculs, nous pouvons écrire :

S, —=yZL— 3:Y, S,—=2X — x, .—=ZYŸ — yX.

S., par exemple, est construit sur la projection OM’ de OM, et sur la projection représentée du vecteur. On déduit immédiatement son expression de l'expression générale (1) en posant Z—0, 3—0.