Plans diamétraux et diamètres

1°. — Coupons l’ellipsoïde par la droite :

et RE pus MÉRONE Jo r Ed CC MR ES | (1)

Déterminons le milieu de la corde d’intersection. Éliminons x et y entre (1) et l'équation de l'ellipsoide E—0.

Nous obtenons une pe du second degré en z 1 1 is entr + 6-1 +] @

Les racines 3, et z, de cette équation correspondent aux extrémités de la corde. Le z du point milieu est (3, 2) : 2. Ceci posé, soit l'équation :

Az Bz:+C—0; on a ($ 41) :

Re, Ash B—0.

Appliquons ce résultat à l'équation (2); on trouve la condition :

P m° Il l tr m mr E= + np ++ na? pr |+ TR 10, (9)

qui, jointe aux équations (1), résout le problème posé.

2, — ue maintenant que la raie ue conserve une rec tion invariable ({, m, n, constants), mais se déplace (p, q, r, variables). Nous demandons le lieu des milieux des cordes.

Pour le trouver, éliminons p, q, r, entre les équations (1) et (3).

On tire de (1): p— re, q——=y—

Multiplions les deux membres de (3) par n°. Substituons les valeurs précédentes ; il vient :

E m? n° l m nd + +T + = =0. (4)

C’est un plan, passant par le centre, qu'on appelle plan diamétral conjugué de la direction l, m, n.

3°. — Inversement, coupons l'ellipsoïde par des plans parallèles à (4). Je dis que les centres des RE ainsi déterminées sont sur la

droite :

TL T=i=—, (à)

qui sera le diamètre conjugué des plans dont la normale a les cosinus directeurs proportionnels à LA 1 : où nc Pour démontrer ce Fo coupons l'ellipsoïde par le plan :

La ++ + ce? —d.

La projection de l'intersection sur le plan yOz est : - ad am (eus) ++ Et (6)

Nous avons déterminé au K 103, 2° les coordonnées du centre d’une conique. Remplaçons les petites lettres par de grandes pour éviter la confusion. On trouve que pour la conique :

My? + Nz° + 2Pyz + 2Qy+2S:+T—0, les coordonnées y, et 3 du centre sont :

__ NQ—PS MS — PQ. z MS — PQ 90 Pa MN ET Pa MN #: NO—PS Pour démontrer le théorème, il suffit de calculer M, N, P, Q,S, pour la conique (6), et de vérifier qu'on a : HR: MS —PQ m-NQ--EPS :

Ce qui ne présente aucune difficulté.

re

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