Propriétés de l’axe . d’homologie

1°. — Une correspondance homologique est définie par les trois droites ,®,H,etle point O.

Soit donnée une droite D: on demande de construire sa conjuguée D' (fig. 227).

D rencontre la droite d au point B. Menons OB ; le conjugué de

Fig. 227.

B est à l'infini dans la direction OB. Di D, menée par k ‘ni est point double) parallèlement à OB, est la de cherchée.

Inversement, D’ rencontre ®' en E’. Menons OE'; le conjugué de E' est à l'infini, dans la direction OE. Donc D menée pee A parallèlement à OE' est la droite conjuguée de D’.

Gorrélativement on vérifiera que OBAE est un parallélogramme : cela résulte de la relation énoncée à la fin du paragraphe précédent.

2%, — A toute droite D du plan P parallèle à H correspond dans le plan P’ (superposé à P) une droite D' également parallèle à H.

En effet, ces droites doivent se couper sur H, et D ne coupe H qu’à l'infini.

3. — Si nous avons déterminé deux points conjugués sur une droite quelconque passant par O, nous obtiendrons deux points conjugués sur une autre droite passant par O, en menant par les premiers des parallèles à H.

4. — Sur les axes, Oy par exemple, les points conjugués forment deux divisions homographiques dont les points doubles sont O,

En effet, on a généralement :

Pepe, byy dy — y —=0; pour les points doubles :

y=—Yy, y(by+d—1)=0.

Il résulte de là et du 3° que, sur toutes les droites passant par O, les points conjugués forment deux divisions homographiques. 5°. — Nous comprenons maintenant en quoi consiste la correspondance homologique.

Nous avons un faisceau de droites passant par un point O.

Sur chacune de ces droites nous établissons une correspondance homographique avec la condition que le point O soit double pour toutes les droites et que le heudes seconds points doubles soit une droite H (que nous appelons axe d’homologie). Nous posons de plus que le lieu d’un des foyers est une droite ® parallèle à l’axe d'homologie,ce qui entraîne la Fig. 28. même condition pour le lieu ®” de l’autre foyer.

Naturellement si, sur chacune des droites passant par O, mous rapportons les points conjugués aux foyers, les équations prennent

gun 25 lie Se ESS ES

ryl d / d E—=— 2 ? LÉ D”. — On définit parfois l’homologie en disant que le quotient des OA EA e est constant.

rapports (fig. 228) : O% Ex En vertu du 3, il suffit de démontrer cette propriété pour les axes. On a : 3 OG— Y—(1—4d)b, GB'—y — Y, GB— y — Y.

On vérifiera aisément la HU. ; y —Y

Bus SAS. APR) y AW, A y —= F — — constante.

360. Relations entre l’homologie et la perspective. Quand deux figures situées dans les plans P et P’ (fig. 229) sont

Fig. 229.

la perspective l’une de l’autre par rapport au point de vue S;"le rabattement de P sur P' en fait des figures homologiques. L’intersection des plans P et P' est l’axe d’homologie ; le centre d’homologie est l’une ou l’autre trace 0', O, de la perpendiculaire S0'O abaissée de S sur le plan bissecteur du dièdre (comparer à la figure 222). Après rabattement, le centre d'homologie est en O.

On vérifie immédiatement ces propositions en faisant passer par SOO" des plans tels que SO'OK.

Leurs traces sur Fe et P”’ sont des droites. En vertu du $ 350, les

droites issues de S He sur OK et OK une ne dance homographique dont l’un des points doubles est en K et l’autre (après rabattement) en O.

Les droites de l'infini ® et ®’ s’obtiennent en menant par S des plans parallèles à P' et à P. Les traces de ces plans sur Pet P sont évidemment parallèles à H.

On déduit de là que la perspective d'une conique est. une conique ($ 356, 4); en particulier, que l'intersection par un plan d’un cône à base circulaire est une conique (K 421).

8361. Transformation homogène.

1°. — On dit que la transformation est enagrne lorsque les équations de l’homographie deviennent : -

x'— ax +. b,y + d,, y = ax + b;y + d,. (4) Les. droites ® et ®' sont allées à l'infini. Si dans les plans P et P”, nous prenons comme axes de coordonnées deux systèmes de droites conjuguées, les équations se simplifient et deviennent (K 357) :

PAR, y'=6Y. (2)

Mais ces systèmes d'axes sont généralement obliques, et les axes ne font pas nécessairement entre eux le même angle dans les deux plans.