Homographie dans l’espace

: 1°. — On dit que les points de deux espaces E et E’ se corresponne dent homographiquement quand les coordonnées x, y, z, des points À de l’espace E sont reliées aux coordonnées x, y', z', des points de l’espace E', par les formules :

pi Me + by + 3 + di a ET Day + Cas + di __ ax+by+cez+d ae ax + by +cz+d

D ax + b;y + c33 + d; ax + by + cz + d

Résolues par rapport à æ, y, z, elles ont la même forme : les seconds membres sont respectivement les quotients de deux fonctions linéaires, le dénominateur restant le même pour les trois quotients.

Les axes sont généralement obliques et ne font pas nécessairement les mêmes angles pour les deux espaces.

On vérifiera immédiatement qu’un plan correspond à un plan, une droite à une droite, une quadrique à une quadrique, une conique à

une conique.

Nous ne nous attarderons pas à démontrer pour l’'homographie dans l’espace des théorèmes analogues à ceux de l’homographie dans le | plan.

. 2. — La théorie géométrique des appareils optiques centrés suppose une correspondance homographique entre deux espaces qui admettent l’un et l’autre un axe de révolution. Il est clair que ces axes sont conjugués : prenons-les pour axes des æ. Aux plans de l’espace E normaux à Ox (plans de front) correspondent les plans de l’espace E’ normaux à O'x’. Aux plans passant par Ox dans l’espace E correspondent, par raison de symétrie, des plans passant par O'x' et faisant entre eux les mêmes angles que les conjugués.

Les équations se simplifient et deviennent :

, aæ—+d FAR by | pics LE

— aæ—+d ? JT ax Ed: FE Met La première exprime la correspondance des plans de front. Les deux dernières donnent :

y’ s D — y : Z elles expriment la correspondance des plans méridiens de même lon-

gitude. - | Les points des axes Ox et O'x’ (par suite, les plans de front dans les deux espaces) se correspondent suivant une homographie linéaire.

Tout ce que nous avons dit aux $$ 346 et suivants est donc applicable. Nous n'insisterons pas : cela reviendrait à exposer la Théorie complète des appareils optiques centrés (Cours de Physique, tome IV).