LoxODROMIE

Soit ds—NM, un élément d’arc sur une sphère de rayon 1. Projetons sur le méridien :

PM—dv— ds. cosZ, U — V, —= 5 cos Z. (4) Projetons sur le parallèle :

PN=0c080. du sin 2Sûe: (2) dv

T v PANNE à R

u—u,—tgZ te 2 logte( +5 )—ote(5 +5) . (3) Partons d'un point N dont les coordonnées géographiques sont Us, . Pour aller jusqu'au pôle (v—7+r:2); il faut parcourir un

arc de courbe fini :

T 1 (+ —.) cos Z ‘

Cela n'empêche pas le pôle d'être un point asymptotique, puisque u—u, devient infini; autrement dit, la courbe fait autour du pôle une infinité de tours dont les rayons moyens diminuent assez vite pour que la longueur totale de la courbe reste finie.

Il va de soi que par chaque point N de la sphère passent deux loxodromies, symétriques par rapport au méridien de départ et faisant le même angle Z avec ce méridien.

#. — Revenons aux cartes de Mercator.

La loxodromie y a une droite pour courbe conjuguée, puisque la représentation est conforme et que les méridiens y ont des droites pour courbes conjuguées. Naturellement les ares de loxodromie subissent une amplification croissante vers les Po nous savons que le rapport de similitude est 1 : cos v.

La longueur de la route jusqu’au pôle devient maintenant infinie. Pour comprendre comment la chose est possible, il faut supposer les unes à côté des autres une infinité de cartes de Mercator, disposées de manière que le méridien — 180° de l’une coïncide avec le méridien 180° de la suivante. Les tours successifs de la loxodromie autour du pôle sont remplacés par le passage de la droite à travers ces rectangles successifs, de largeur finie, mais de hauteur infinie.

5°. — On conçoit maintenant comment est résolu le problème des routes en Navigation.

L'équation (3) s'écrit :

u— us —=(V — V,)tgZ.

Or u et V sont précisément les coordonnées de la carte de Mercator.

D'où résulte que pour aller d’un point À à un point B de la carte par la loxodromie qui les joint, on tracera la droite AB; on déterminera au rapporteur son angle avec un quelconque des méridiens (verticales) : ce sera précisément l'angle Z. Connaissant la décli-

TE, Cor le Let … ar dl

SURF ACES. COURBES Hits à SUR LES SURFACES 465 naison magnétique A, on saura l’angle ZA, que l'aiguille doit faire avec la quille du navire. Si l’homme de barre maintient cet angle, le navire décrira la loxodromie.

4° — La loxodromie qui joint deux points, D et B par exemple (fig. 251), est plus longue que l'arc de grand cercle, mais de peu. Pour fixer les idées, supposons que partant du point D (u,—v,—=0), nous allions au point B de coordonnées u — 7 : 2, v—7 : 4. L'arc de

grand cercle BD a pour longueur + : 2. Calculons l'arc de loxodromie. La formule (3) et la table du $ 214 donnent

Let cv,

D'où, en vertu de la formule (1): s—7 :1,96.

L'allongement de la route n’est que de 2 0/0. On remarquera qu'il serait nul pour les routes DA ou DE, la loxodromie se confondant alors avec le méridien ou le parallèle,