Projection stéréographique
1”. — Au $ 387, nous supposons que les coordonnées u, v, dans le plan sont les coordonnées cartésiennes rectangulaires. Prenons maintenant pour coordonnées polaires l’angle u et le rayon vecteur r{u, v).
Cherchons les conditions de la représentation conforme.
Posons tout de suite qu'il s’agit de la sphère. Par raison de symétrie, r est une fonction de v seulement. Déterminons laquelle.
L'arc a pour expressions :
en coordonnées polaires dans le plan ($ 80) :
ds®— dr? + r° du?;
sur la sphère : ds? — dv? + cos ?v . du®.
D'où : :
M tu 7 dr dv?
dst du cosv.du? cos'v (T r” Re 1: (EE 20 Ta )
Ce rapport est le même pour tous les petits déplacements à partir d'un point de la sphère (v et u donnés, du et dv quelconques) si :
dr dv . T v [Tr — cosv? log r— og tg( 5 +5 ):
‘ “ ro à TK Lt) cos Ù d ou (S 48 } . r=ig (& L- D ) —— c'es sin v *
Le facteur de proportionnalité, variable d’un point à l’autre de la sphère, est :
RENE | cosv Ηsinv :
2. -— La projection stéréographique réalise précisément ces conditions.
À partir du point À de la sphère, menons des droites par les Cours de Mathématiques générales. — H. BOUASSE. 30
Le PS
re. r< LANTE
Re"
points B quelconques. Elles rencontrent l'équateur en des points B! que nous prendrons pour conjugués de B. : |
Il est d’abord évident que la condition relative à l'angle w (longitude sur la sphère, angle en coordonnées polaires sur le plan) est satisfaite.
Etablissons donc la condition relative au rayon vecteur.
Zyualeur
Fig. 252.
Dans les triangles semblables OAB', CBB', on a :
DR nr Sara Che ec: Pr CB'=— r —ceos v, OA CB —= si v:s Re COS D ee TE Fr : ; r — COS v sin v 1— sinv
Projetons sur le plan un élément d'arc de parallèle : le rapport de similitude est évidemment égal à :
AB de OB' PSE à 1 AD OC coss : :E--Sne Il vaut 1 pour v—0 (points voisins de l'équateur); il est infini pour les points voisins du pôle. | Quand on déplace le plan de projection parallèlement à luimême, on obtient des figures semblables (K 364); par suite, la représentation est conforme pour tous ces plans, en particulier pour le plan tangent au point D extrémité du diamètre -AO. À 3. — On démontre immédiatement que la projection stéréographique de la loxodromie est une spirale logarithmique ($ 201). Analytiquement, cela résulte de la comparaison des équations :
u —tg Z .log (Tr + 5) log r — log te(5 + 3):
d'où : u —=4g 4 .logr.
É ue ” N >
Géométriquement, cela résulte de ce que : 1° la représentation par
projection stéréographique est conforme ; 2° la loxodromie coupe tous les méridiens sous le même angle; 3° la spirale logarithmique eoupe tous les rayons vecteurs sous le même angle. Nous conseillons au lecteur de tracer sur un ballon de celluloïd une loxodromie complète, à partir d'un point de l'équateur, afin de se rendre compte de sa position par rapport aux pôles (points asymptotiques). Les spires asymptotes au pôle point de vue À sont projetées à l'infini, tandis que les spires asymptotes au pôle D sont projetées autour de 0.
391. Relations entre la projection stéréographique et l’inversion. ;
1°. — Nous avons étudié aux $ 236 et suivants la transformation des
figures par inversion ; autrement dit, par rayons vecteurs réciproques.
Fig. 253.
Nous avons montré en particulier que la transformée d’un cercle C est un cercle C’ qui devient une droite quand le pôle d’inversion P est pris sur le cercle C. Étudions l’inversion dans l’espace (fig. 253).
Il est d'abord évident que l'inverse d’une sphère est une sphère. Joignons, en effet, le pôle P au centre O de la sphère C. Par la droite PO faisons passer un plan : il coupe la sphère C suivant un cercle. L'inverse de ce cercle est un nouveau cercle dont le centre O' est sur la droite PO. Ces résultats s'appliquent à tous les plans passant par PO : le phénomène étant de révolution autour de PO, l'inverse de la sphère C est une nouvelle sphère C’ dont le centre est en 0’.
L'inverse de la sphère C devient un plan normal à PO, si le point P est pris sur elle.
L'inverse d’un cercle est un cercle. En effet, on le peut considérer comme l'intersection .de deux sphères ; leurs inverses sont encore deux sphères qui se coupent nécessairement suivant un cercle.
2. — Réciproquement, tout plan P peut être considéré (fig. 252) comme l'inverse de la sphère de centre O par rapport à un point A
