SURFACES. COURBES

TRACÉES SUR LES SURFACES 477 On a une lemniscale hyperholique qui possède un point double. Enfin pour 3y—R, la courbe d’intersection se compose de deux ovales qui deviennent deux cercles pour à — 0.

La partie droite de la figure 258 permet au lecteur de terminer la discussion pour le {ore fermé. Il existe alors soit un ovale unique, soit deux ovales placés l’un dans l’autre. Ils peuvent avoir tous deux la forme I (région ['); l’ovale extérieur peut avoir la forme IT, et l’ovale intérieur la forme I (région V).

3°. — OvaLEs DE CASSINI, LEMNISCATE DE BERNOULLI.

On obtient les ovales de Cassini quand la section est à une distance de l’axe de révolution égale au rayon R de la sphère généra-

trice : R—3. L'équation prend les formes équivalentes : (a? 2 ut) — Lu (a? LR).

[@—u) +2] [re +u) +2] = HR? (2)

La seconde forme exprime que la courbe est le lieu des points dont le produit des distances à deux points fixes æ—æ+y, est constant et égal à 2uR.

Suivant les valeurs relatives de y et de R, on obtient les diverses formes représentées dans la figure 259.

Si y —2R, on obtient la lemniscate de Bernoulli (K 239) :

(x? + 32)? — SR? (x° — 7°).

40. — SECTIONS INCLINÉES PASSANT PAR LE CENTRE DE SYMÉTRIE. Sans diminuer la généralité du problème, nous pouvons mener le

[as

ee

Fig. 260.

plan d’intersection par l’axe Oy ; les coordonnées y ne sont pas modifiées. Il existe entre les anciennes coordonnées x,3, et les nouvelles

X,Z (fig. 260), les relations (K 78) :

æ— X cosa—<+ Zsino, 3—= X sina— Zcos a.

cercles d'équations : \

| Fo Dose À écuntion de l'intersection, nbibaiais az a “ 2 leurs valeurs en fonction de X et Z, puis posons Z—0Q. Il vient : (VX cos o + y — y} + Xsin'a—R?.

(X2 y} + 2 (p2 — R?-— 2? cos? à) X?— 2 (u? ! R°)7°

En particulier, prenons pour plan d’intersection le plan bitangent BOB’. L’angle x est déterminé par les relations :

sinx—kR : u, cos à — Vu? — R? : y

Fs

Fig. 261. ; On vérifiera que la courbe d’intersection se décompose en deux

HR} + X = y Cela revient à dire que le premier membre de l'équation (3) peut se mettre sous la forme :

2 Lo HR HR jé] [y — REX — 5] L'intersection se compose donc de deux cercles égaux, dont la

figure 264 montre les projections elliptiques sur le plan æOy. Leur rayon est égal à y; leurs centres l' et T” sont sur Oy à une distance

R du centre de symétrie.

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