VE — ) +R

Telle est l'équation du tore ($ 381, 1°). On retrouve l'équation (6) en écrivant que la surface

est le lieu des carac- z

téristiques ; ce qui

revient à dire qu’elle

est engendrée par un

cercle tournant autour /

d’une droite de son

plan. RQ Le tore, comme n'im- c'

porte quelle autre sur- à.

face canal, satisfait à | DA l'équation (3).

En effet, celle-ci

exprime une propriété générale du plan tangent à la sphère, qui doit se retrouver sur Fig. 257.

toutes les enveloppes.

Les intersections de (6) avec Oz sont données par la condition :

3—<+VR— pe.

On définit ainsi deux points A et B qui sont réels si Ru, ce qui est évident. Quand ils sont réels, ils constituent des points coniques. Les plans tangents à la surface aux points À et B enveloppent des cônes qui sont de révolution autour de Oz.

Nous reviendrons là-dessus plus loin. Quand les points A et B sont réels, on dit que le tore est fermé; il est ouvert quand ils sont imaginaires.

2%. — SECTIONS PAR UN PLAN PARALLÈLE A L'AXE Oz.

Coupons par un plan parallèle à l'axe Oz. Comme la surface est de révolution, nous pouvons le placer parallèlement à x0z sans

co URS DE MA THÉMAT TIQUES GÉNÉRALES

diminuer la drtite du problème : son équation est er La courbe d’intersection a pour équations équivalentes :

QAEF +R + Hu RE = Aura + à). (1)

On obtient la seconde à partir de la première en chassant le radical.

Zore ouvert 7ores fermes Z Û | III III I V [I L> V 1 + 4 IV & À 0 r

Eé = — —|

et +4 - Fig. 258.

La figure 258 montre une coupe du tore (ouvert ou fermé) par un plan passant par l’axe de révolution et normal au plan d'intersection ; elle montre aussi la trace de ce dernier plan. La figure 259 repré-

mm me a — — —— — —— — — — en + 4 ù de = =

Fig. 259.

sente Les formes de la courbe d'intersection pour le tore ouvert et Les positions I, II, III du plan d'intersection.

Quand 5— u +R, la courbe se réduit à un point.

Quand à est compris entre +R et 4, on obtient un ovale.

Quand à est compris entre w et y—KR, la courbe possède quatre points d'inflexion.

Pour 3—y—kR, l'équation (1) devient :

(a? + 2) — Lu (y — 3) à? — Lhudz?.

‘ en