Définition de l’hélice
1°. — On appelle hélice la courbe gauche engendrée par l’enroule-
ment, sur un cylindre à base circulaire, d’un triangle rectangle ABD
dont un des côtés de l’angle droit DB s'enroule sur la circonférence de base. L'hypoténuse AD du triangle devient lhélice.
Nous appellerons pas la quantité H dont l’héhice s'élève pour
un tour; on a évidemment, en appelant r le rayon de la base :
AB = BD tg0, : H—2+rtg0.
S représentera l’are d’hélice pour un tour; on a :
BD — AD cos 6, S= 27r : cos 0; kr?r? L H°— S?.
de courbure C de l’hélice est
| Une génératrice du Aie coupe l° hélice en une infinité de points dont l'équidistance est égale au pas.
Les équations de l’hélice en fonction de l'arc sont :
278 , 278 H or: PAR SILERT pal: dl 2%, — La direction de la tangente est définie par les cosinus : , . 27 2rs Se x—T——coséûsmM sc, LEDET — cos ÿ cos 7, y—= 2 —=8in 06.
Donc la tangente fait avec Oz un angle qui est le complément de l'angle 0 ; ce qui est évident sur la figure 265.
F: er On a , ÿ Fr COS 0 2rs Fe 27 cos8 . 2xs ; Dr ag. CSS Jr T a BTS, Z2 20, si | — . cos’ 0 L, y Ta 119 gr 7er De PRE NT AR SR SE A VAUT pee, =.
L rayon de courbure est D
La normale principale AN est la normale au cylindre au point À. Elle rencontre normalement l'axe Oz.
Le rayon de courbure L est toujours supérieur à r. Comme il est constant, le lieu des centres
une autre hélice de même pas, enroulée sur un cylindre de rayon r—p—r.
Son inclinaison 0 est donnée par la formule :
H=— 2x (p—r)tg 0.
En particulier, si les spires sont très aplaties, 0 est voisin de 0,p est voisin de r, p—r voisin de 0, enfin 0’ est voisin de + :2. fa lieu des centres
Fig. 265.
de courbure devient à la limite l'axe Oz lui-même.
#. — On trouve aisément :
‘ y sin 0 æ sin Ü A, 7 =. V=—0C0s0; ., Sin0cosô 2rs sinÜcosÜ . 2rs ju hr Sr —=— È ARE : M NP * 1 sin 0 cos à D'où — —= L 9 ? r
LA
Le rayon de torsion est donc constant. I s'annule pour 8-0 (l'hélice s’aplatit sur son cercle de base), et pour 6—+:2 (lhélice se réduit à une génératrice du cylindre).
2°. — Nous obtenons le même résultat à l’aide de l’indicatrice sphérique (S 408) qui est un cercle. La torsion totale pour un tour d’hélice est 2rcost—2+rsin6. La longueur de l’arc correspondant est S—2rr : cos. La torsion moyenne (qui est précisément égale à l'inverse de s,) est donc :
(| : 2rr sin 6 cos 0 — — 2 sin 0 : = ————— , 21 COS 0 r
0°. — COURBES LOXODROMIQUES.
Nous avons étudié plus haut ($ 389), sous le nom de loxodromie, une courbe qui coupe tous les méridiens de la sphère suivant le même angle. La définition se généralise : on appelle courbes loxodromiques des surfaces de révolution les courbes qui coupent les méridiens sous un angle constant. Les loxodromiques du cylindre et du cône sont des hélices. Nous étudions ici les loxodromiques du cylindre; nous dirons quelques mots des loxodromiques du cône au
+ 410. Projections de l’hélice.
1°. — PROJECTION ORTHOGONALE D’UNE HÉLICE SUR UN PLAN PARALLÈLE A SON AXE.
Projetons sur le plan 30%, on a :
2TS Hs 27 3 LT—TCOS TT, 21=T ; DT COS
La projection est une sinusoïde. Faisons tourner lhélice autour de Oz. Comme l’hélice est superposable à elle-même, la projection reste une sinusoïde, mais qui se déplace en bloc parallèlement à Oz. La rotation dans le sens de Ox à OB, produit évidemment un mouvement vers le bas. On utilise cette proposition en Physique dans de nombreux appareils de démonstration. On la vérifiera en projetant sur un mur l'ombre d’une hélice construite avec du fil de fer.
2. — PROJECTION OBLIQUE D'UNE HÉLICE SUR UN PLAN PERPENDICULAIRE A SON AXE.
Plaçons l’axe verticalement. La projection est une cycloide raccourcie, si les projetantes sont plus horizontales que les tangentes à l’hélice ; une cycloïde proprement dite, si l'inclinaison est la même ; une cycloïde allongée, si les projetantes sont plus verticales.
Supposons les projetantes parallèles au plan z0z et faisant avec le plan x0y l'angle 4. Dans la projection, y reste inaltéré. On verra immédiatement que l’x de la projection d’un point est égal à l'æ du point projeté augmenté de z3cotg y.
à dr aTé bée
COURBES A DOUBLE COURBURE. SURFACES DÉVELOPPABLES 491 L'équation de la projection est done (comp. au $ 100) :
2xs H .. 2rs S + scotg Ÿ, , Lacct éranER OS
LT = r cos
Nous laissons au lecteur le soin de parfaire la démonstration. Il vérifiera le théorème en projetant sur un mur l'ombre d’une hélice construite en fil de fer et plus ou moins inclinée.
3°. — La proposition précédente rentre (en un sens) dans une proposition plus générale : une courbe plane qui a un rebroussement, peut être considérée comme la projection d'une courbe gauche parallèlement à une de ses tangentes. Si le plan osculateur a un contact ordinaire (du second ordre) avec la courbe, il la traverse : les deux bras du rebroussement qui est du premier ordre, sont de part et d'autre de la tangente; c’est le cas pour l’hélice. Si le plan osculateur ne traverse pas la courbe (contact du troisième ordre), les deux bras du rebroussement sont du même côté de la tangente.
Le lecteur vérifiera la proposition avec un fil de fer tordu, en examinant son ombre portée sur un plan.
