Indicatrice ou hodographe sphérique

1°. — Un mobile se meut avec une vitesse constante que nous prendrons pour unité, sur une courbe gauche A,B,C,D,... A partir d'un point quelconque O, menons des vecteurs OA’, OB', OC’... égaux et parallèles aux vecteurs représentatifs de la vitesse aux points correspondants A,B,C,... de la courbe gauche. Leurs extrémités forment une courbe à la surface d’une sphère (puisque les vecteurs ont une longueur constante) : on l'appelle hodographe ou indicatrice sphérique.

2%, — Pour nous rendre compte de ses propriétés, supposons la courbe gauche remplacée par une suite de petites courbes finies planes AB, BC, Les tangentes à leurs éléments sont respectivement dans un plan. Si par le point O, on mène des vecteurs égaux parallèles à ces tangentes, leurs extrémités décrivent sur la sphère de petits arcs de grand cercle, A'B', B'C',... L'angle « que fait l'arc AB avec l'arc B'C', est l'angle des plans des courbes planes AB, BC. Il est représenté sur la sphère en vraie grandeur, puisque la droite OB', rayon de la sphère, est parallèle à la tangente commune aux deux courbes AB, BC, au point B, par suite à l'intersection de leurs plans.

Fig. 264 bis.

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L'angle que fait l’are A'B' avec l'arc D'E' est égal à la somme ui des angles extérieurs du polygone sphérique.

Supposons que le polygone se ferme. Cela signifie qu'aux extrémités de l'arc de courbe considéré (ici formé de courbes planes) les tangentes sont parallèles. Nous savons ( 74, #) que la somme E des angles extérieurs d’un polygone sphérique fermé est égal à 27 moins l'aire S du polygone : E—2r—S$S

Cette quantité mesure donc l’angle des plans des courbes extrèmes.

3. — Revenons au cas général de la courbe gauche. Ce qui précède est applicable, à la condition de considérer les courbes planes comme de longueurs infiniment petites ; leurs plans deviennent les plans oies à la courbe. Par ses changements de direction, l’hodographe sphérique représente donc la rotation du plan Ssculi teur, ce que nous avons appelé la torsion de la courbe.

En particulier, supposons que la courbe sphérique se ferme, que les tangentes aux points À et P, extrémités de l'arc considéré de la courbe gauche, soient parallèles. La rotation totale du plan osculateur entre À et P; autrement dit, la lorsion totale de la courbe entre ces points est égale à 27 —S, où S est l'aire limitée par la courbe sphérique. |

4. — Par exemple, imaginons une courbe dont les tangentes fassent un angle invariable 4 avec une droite. L’indicatrice est un cerele qui, fermé, limite une aire ($ 381) égale à 27(1—cos%). La somme des angles extérieurs de ce cercle (somme des variations de direction de la tangente) est : E —27 — 2r{1 — cos d) — 2x cos y.

Si la longueur de l'arc de courbe gauche compris entre les points dont les tangentes redeviennent parallèles est s, la torsion moyenne est : E : s—2r cos :8s. |

Nous allons voir que la courbe dont il s’agit est une hélice.

Hélice. Hélicoïde développable.