Hélices coniques; loxodromies coniques

f°.— Au S415, 2, nous montrons que dans le développement d’une surface développable les angles se conservent. Au $ 201, nous établissons que la spirale logarithmique fait un angle constant avec le rayon vecteur issu d'un certain point S (pôle).

Reliant ces deux propositions, nous concluons que pour obtenir les hélices coniques, courbes faisant avec les génératrices d'un cône quelconque un angle constant, il faut tracer dans un plan un faisceau de spirales logarithmiques admettant S comme pôle, couper le plan suivant une demi-droite aboutissant en S, puis l’enrouler en forme de cornet quelconque admettant S pour sommet.

®%. — Les hélices coniques comprennent les loxodromies coniques. Au $ 409, nous définissons les loxodromies des surfaces de révolution : elles font avec tous les méridiens un angle invariable.

Pour obtenir une loxodromie conique, il suffit donc de déformer le cornet jusqu’à obtenir un cône de révolution.

Comme ces courbes sont utilisées dans la Théorie de la Conductibilité (Étude des symétries, $ 235), nous en dirons quelques mots.

Reprenons les notations du $ 422.

L'équation de l’hélice sur le cône est :

peser.

On a : Pou = lo, r = p COS Y.

’où ‘: es SA " D'où : r — cosy. exp (kx cos y).

La projection de l'hélice sur un plan perpendiculaire à l’axe du cône est une nouvelle spirale logarithmique.

On peut donc considérer les loxodromies coniques comme obtenues par l'intersection du cône par des cylindres dont les génératrices sont parallèles à l'axe du cône et s'appuient sur des spirales logarithmiques tracées sur un plan normal à cet axe.

On démontre aisément que l’hélice conique coupe sous un angle constant les génératrices de ce cylindre. Elle est donc aussi bien une hélice cylindrique générale ( 413); d'où le nom d’hélice cylindroconique qu'on lui donne quelquefois.