Hélicoïde gauche ou à plan directeur
1°. — On appelle hélicoïde gauche ou à plan directeur un conoïde droit admettant pour directrice courbe une hélice dont l’axe coïncide avec la directrice rectiligne.
On se reporteraà la figure 280.
Les coordonnées d'un point de l'hélice étant (K 409) :
2rs . 2rs H
D—rCOS GS, Y—rSN SG, 2—= GS,
Fig. 280.
PT OPTION ES He TEE TA A LS SE RER EN 2 mA ELA = tinSé
les équations à deux paramètres u, s ($ 372) de l'hélicoide gauche sont : 2rs RD H
T—TU COS —S—, y—=Tusn-<—, z
Si u=>1, les points sont hors du cylindre sur lequel l’hélice directrice est tracée; si u<1, ils sont dans ce cylindre.
2, — Inversement pour une valeur donnée de u et pour s variable, on décrit sur l’héhicoïde une hélice. Toutes ces hélices ont même pas H. Leurs inclinaisons O et la longueur È de l'arc qui correspond à un tour, sont fournies par les fines :
H LR ATTU ?
Il est indifférent de prendre l’une ou l’autre de ces hélices pour directrice courbe de l'hélicoïde.
Changer l’hélice revient à remplacer les quantités s et S par les quantités proportionnelles & et Ë.
3. — Nous retrouvons immédiatement le théorème fondamental sur la distribution des plans tangents. En un point quelconque P de l'hélicoide, le plan tangent passe par la génératrice rectiligne et est tangent à une des hélices que nous avons définies au ®. Si P est à une distance ru de l'axe, l’inclinaison de cette hélice, par suite celle du plan tangent est : #
H po ee O mesure l’angle avec le plan horizontal. Mais le plan central est vertical; donc l'angle 4 du plan tangent en P avec le plan central correspondant est le complément de ©
rru fase
tg « est done bien proportionnel à la distance ru du point P au point central correspondant. Le plan tangent, vertical sur Oz, devient horizontal à l'infini; ce qui est évident à priori, puisqu'’une surface de plus en plus grande occupe toujours la même hauteur verticale. Nous verrons tout à l'heure l'inconvénient industriel de ce résultat.
4, — Calculons l'élément d’arc a d'une courbe tracée sur l’hélicoïde (S 374).
Un calcul facile donne :
V2 2 = 9,772 ” 2 da? = r°du? + gs ds.
La forme de cette équation nous apprend que les génératrices de l’hélicoïde et les hélices définies au 2° forment un système de courbes orthogonales. En choisissant convenablement la loi de variation du paramètre u [ce qui revient à prendre une variable U—/{u)|, on
obtient un système d’isothermes ($ 385) découpant la surface en carrés infiniment petits. On posera :
du S | F | UzrS VE Lier: — 2- 108 (27ru + Vär*r°u? — H? ).
ra
