Indicatrice

1°. — Cherchons les propriétés d’une surface autour d’un point O. Prenons ce point pour origine des coordonnées, la normale à la surface ( 375) pour axe des 3 (fig. 287). Posons comme d'habitude : dz dz d?z d?z d2z Pre TT Du FR Rs $— Dr dy ? É

Puisque le plan x0y est tangent à la surface au point O, nous y avons : p—q—0. Coupons la surface par un plan infiniment voisin de æ0y. La formule de Maclaurin appliquée à la fonction 3—/f{x,y), et bornée aux termes du second degré (les termes du premier disparaissent en vertu du choix des axes), donne :

23 — ra? + 2sxy + ty°. (4) r, 8, t, doivent être traitées comme des constantes : ce sont les valeurs des fonctions r, s, {, pour les valeurs æ—y—0, des variables. |

Couper la surface par un plan parallèle à z0y, c'est prendre une valeur constante de 3; d’où la proposition : l'intersection de la surface par un plan parallèle au plan langent et (rès voisin de ce plan est une conique, si le point O n’a pas de propriétés particulières.

Donnons à z différentes valeurs : nous obtenons des coniques homothétiques et ayant leurs centres sur l’axe Oz qui est la normale à la surface. Ceci demande une explication.

2%. — Quand nous coupons une surface du second degré par des plans P parallèles au plan tangent relatif à un point O et situés à distance finie de ce point, nous obtenons des coniques semblables ($ 338, 2°), mais dont les centres sont sur une droite (diamètre conjugué des plans P) qui n’est généralement pas normale à la surface ($ 341). Comment, pour une surface quelconque, trouvonsnous les centres des coniques sur la normale ?

La contradiction se résout par le fait que 3 est un infiniment petit

du second ordre par rapport à æ et à y considérés comme du premier. Pour obtenir une conique dont les rayons vecteurs sont du premier ordre, il faut couper par un plan dont la distance au plan tangent est un infiniment petit du second. L'erreur commise en plaçant le centre des coniques sur la normale, erreur proportionnelle à z, est donc négligeable devant x et y.

C'est exactement pour la même raison que nous pouvons remplacer (fig. 69) un élément de courbe plane voisin d'un point O par un élément de cercle symétrique par rapport à la normale en O (S 92, 3° et $ 10, 3°).

n résume ce qui précède en disant qu'on peut assimiler une surface quelconque au voisinage d'un de ses points, non seulement à un élément de la surface d’une quadrique, mais plus précisément à l'élément qui admet comme centre l'extrémité d’un des axes de symétrie d’une quadrique.

La conique (1) est l’indicatrice de la surface pour le point O.

3. — Si l'élément de surface est assimilable à l'élément voisin d'un des axes d’un ellipsoïde, la conique est une ellipse. On pourrait aussi bien l’assimiler à l'élément de surface voisin de l'extrémité de l'axe réel d’un hyperboloïde à deux nappes ou d’un paraboloïde elliptique.

Comme cas particulier, l’ellipse est un cercle : le point correspondant de la surface est appelé ombilic ; la quadrique est de révolution.

Si l'élément de surface est assimilable à l'élément voisin d’un des axes réels d’un hyperboloïde à une nappe, ou du point où l’axe O3 rencontre un paraboloïde hyperbolique (fig. 215), la conique est une hyperbole. Le plan æ0y coupe la surface suivant deux droites qui sont les asymptotes des hyperboles d’intersection. Pour 3-0, elles ont leurs axes réels suivant deux certaines directions ; pour 30, elles sont conjuguées des précédentes (S 121) et ont leurs axes réels suivant les mêmes directions. Toutes ces courbes admettent les mêmes asymptotes.

Rappelons que la courbe d’intersection par un plan voisin de x0y peut s'étendre loin du point O et avoir plusieurs branches (c'est ce qui arrive, par exemple, pour les plans voisins du plan tangent qui coupe le tore suivant une lemniscate, K 399); mais nous n'avons à considérer que les portions de l'intersection qui sont infiniment voisines du point O; ce sont elles qu'on peut assimiler à une hyperbole.

4. — La conique peut enfin se réduire à deux droites parallèles : le second membre de (1) est un carré parfait ; le point correspondant de la surface est dit parabolique.

Ici encore une explication est nécessaire.

Quand on coupe un cylindre par un plan voisin d’un plan tangent, lintersection se réduit effectivement à deux droites parallèles. Mais si l’on coupe un cône par un plan voisin d'un plan tangent, on ne voit pas tout d'abord comment l'intersection est assimilable à deux

droites parallèles. Si le cône est du second degré, nous savons ($ 421, 3°) que c'est une parabole.

a réponse à cette difficulté est la même qu’au ®. Un déplacement z du second ordre suffit à obtenir pour l'intersection des dimensions transversales du premier. Par exemple, dans le cas d’un cône du second degré, la parabole est infiniment allongée; au voisinage du point considéré, elle se réduit avec autant d'approximation qu’on veut à deux droites parallèles.