Rayons de courbure des sections normales à la surface
On appelle sections normales les seétione AOB par un plan mené
par la normale à la sur-
z face (c’est ici l’axe Oz).
Elles sont définies par
l'angle o que fait avec Ox
Q - la trace OD du plan sé- ; cant sur Je plan æx0y DS (fig. 287).
Evaluons le rayon vecteur O'A—R, de l’indicatrice ; cela revient à exprimer son équation en coordonnées polaires :
23 — R? (r cos’ o —-2scoso smot{sin’o).
Nous avons montré au $ 92, 3°, que le rayon de courbure : d’une courbe AOB est la limite du TADUEL R?: 23. Par suite, les rayons de courbure & des sections normales de la surface sont donnés par la formule :
Fig. 287.
Ts : ets 11 p—r cos? o + 25 cos o sin o + { sin? o.
De là résultent plusieurs théorèmes fondamentaux connus sous le nom de théorèmes de Meusnier.
2%. — Les rayons de courbure sont respectivement maximum et minimum pour les sections rectangulaires qui correspondent aux axes de l’indicatrice ; on les nomme sections principales.
Si l’indicatrice est une ellipse (I, fig. 288), les centres de courbure des sections normales sont tous du même côté de la surface. Ils sont compris entre les centres C, et C; qui correspondent aux sections principales. Si la conique dégénère en cercle (ombilic), les points C, et C; sont confondus; toutes les sections ont même centre de courbure.
Si l’indicatrice est une hyperbole (III, fig. 288), les centres de courbure des sections normales sont de part et d’autre de la surface.
Comme le rayon vecteur R est infini pour les sections qui correspondent aux asymptotes de l'indicatrice, p est également infini : le centre de courbure est à l'infini sur la üormnale. Done les centres de courbures sont tous au delà des points C, et C;. Ils vont de C, à + cc sur la normale, quand la section est comprise dans un des angles des asymptotes ; 2 à C, quand la section est comprise dans l’autre angle.
Enfin quand lodictrioe se réduit à deux droites (point parabo-
Fe EC, [ Il IT] Fig. 288.
lique ; IL, fig. 288), les centres de coubure, tous du même côté de la surface, sont au delà d’un point C, qui correspond à la section normale aux deux droites. Ils occupent sur la normale toutes les positions depuis C, jusqu'à &c. On peut assimiler lindicatrice réduite à deux droites parallèles, à une ellipse dont un des axes devient infini, l’autre axe restant fini et à distance finie.
3. — Étudions la variation + quand o varie. Pour le faire commodément, rapportons l’indicatrice à ses axes. Soit », le maximum, e le minimum de p. On peut écrire :
