CHAPITRE XXII

480. Vitesse en un point d’un fluide. Ligne de courant, tubes de courant, surfaces de courant.

1°. — Les notions que nous avons à définir existent en dehors de leurs applications, du reste comme toutes les notions mathématiques. Mais pour faciliter leur compréhension, il est utile de les concrétiser. Nous emprunterons donc notre langage à l'Hydrodynamique.

Imaginons immergé dans un fluide indéfini de petits corps ayant même densité que lui. Supposons le fluide en mouvement; en chaque point et à chaque instant, chacun de ces corps a une vitesse de grandeur et de direction bien déterminées; le vecteur représentatif mesure la vifesse géométrique.

La vitesse matérielle est la vitesse géométrique multipliée par la densité; nous désignerons sa grandeur par le symbole U, ses composantes suivant trois axes rectangulaires par les symboles u,v, w. On a : U? = u? + o? Lu:

u, v, w, sont généralement des fonctions des coordonnées x, y, 3, et du temps {. L'espace dans lequel le vecteur u, v, w#, est défini, s'appelle le champ du vecteur. Il est clair que la vitesse géométrique et la vitesse matérielle ont même direction en tous les points du champ, direction généralement variable d'un point à l'autre. Leurs grandeurs seules diffèrent par un facteur fonction du point considéré. Pour exprimer le déplacement du fluide supposé compressible, la vitesse matérielle est nécessaire; car, suivant la densité, la même vitesse géométrique correspond à des déplacements de matière très différents.

Dans ce qui suit, nous ne considérons que la vitesse matérielle : nous supprimerons donc l'épithète, puisque l'ambiguïté n’est pas à craindre.

2%. — Nous disons que le mouvement est permanent, quand il s'effectue en tout point du champ avec une vitesse constante en gran-

deur et direction. Les composantes u, v, w, ne sont alors fonction que de æ, y, z, tandis que dans le cas général elles dépendent aussi du temps. Vous nous limilerons aux mouvements permanents. :

3. — Une surface est une surface de courant, si le mouvement s'effectue suivant des lignes tracées sur elle.

Cherchons la condition à satisfaire.

Soit : A2, 9,2) X, (1) une surface de courant: x est une constante. Écrivons que le vecteur u, v, w, relatif à tout point À de cette surface, est dans le plan tangent au point A. Il revient au même d'écrire que le vecteur est perpendiculaire à la normale à la surface (K 322) :

Ô- d- dy. | Se toa tu 0. (2) Si cette condition est identiquement vérifiée, l'équation (1) représente un faisceau de surfaces de courant. On obtient toutes les surfaces du faisceau en faisant varier le paramètre 1. La couche comprise entre deux surfaces de courant est une nappe de courant.