Flux ou débit à travers une surface
1°. — On appelle flux du vecteur à travers un élément dS de sur-
face, le produit : U cos 6 . dS,
du vecteur U par l'aire dS de l'élément, et par le cosinus de l’angle 8 que fait le vecteur U avec la normale à l'élément. Il est facile de voir que le flux du vecteur correspond exactement à l'idée de débit d'un fluide à travers un élément de surface : 1l mesure la quantité de matière qui traverse l'élément dans l'unité de temps. Décomposons en effet la vitesse qu'a le fluide quand il traverse l'élément, en une composante tangentielle et une composante normale U cos 6. La composante tangentielle, pour grande qu'elle soit, n'amène pas de liquide à travers l'élément. Seule agit la composante normale ;
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le débit est le produit Ucos6.dS, de sa grandeur par l'aire de
l élément.
A travers une surface finie, le flux total ou le débit total sont :
Î U cos 0 dS :
l'intégrale est étendue à la surface entière. C'est la quantité de matière qui traverse la surface dans l'unité de temps.
Soit x, 8, y, les cosinus directeurs de la normale à la surface en un de ses points. On a :
U cos 4 = ua + vp + w,
«dS — dy ds, BdS = dz dr, -dS = dx dy ; ff cost dS=— | | (u dy dz + v dz dx + w dx dy). %, — Évaluons le flux à travers un élément plan fini S que, pour
simplifier l'écriture, nous placerons normalement à l'axe de x.
Le flux est : ff dy dz.
Si u est constant, l'intégrale est uS. Supposons que u varie ; développons sa valeur en fonction des variables y et 3, les seules qui interviennent, puisque le plan est normal à Oz. Nous avons :
u— u, —+ ay + bz +...
ÎJ FRE +affv dy ds+ ff : dy ds +
Si le point où u a la valeur w,, est choisi de manière que les intégrales s'annulent, le flux aura pour expression u,S aux quantités du second ordre près. Or ces conditions définissent ce qu'on appelle le centre de gravité de la surface (K 163, 3°). D'où la proposition : si la vitesse varie assez peu au voisinage
d'un point À pour qu'on puisse la % considérer comme une fonction liné- 1 —$* aire des coordonnées, on obtient le eÉ—G flux à travers un élément plan pas- P: |) sant par À, en multipliant l'aire de à —+ l'élément par la valeur que prend la composante normale de la vitesse en £ ps son centre de gravité.
3. — Calculons le flux à travers la surface qui limite l'élément parallélipi- y pédique représenté figure 309. Fig. 309.
En vertu de ce qui “précède, le flux à travers la face e/gh est égal à u dy dz, où u est la valeur que prend cette fonction au centre de figure de la face. Le flux entre dans le parallélipipède ; nous le prendrons négativement.
Le flux à travers la face abcd est :
(u +. de dy dz.
Il sort du parallélipipède ; nous le prendrons positivement.
La somme algébrique des deux flux (flux qui sort en définitive) est:
du
S dx dy dz.
Les vecteurs v et w# ne donnent aucun flux à travers les éléments perpendiculaires à Ox. Opérons de même pour les autres couples de faces. Il vient pour expression du flux total qui sort en définitive :
(SE Fu - + ce = jar dy dz = Div (U) dx dy dz.
La quantité entre parenthèses a une importance capitale : elle s'appelle la divergence du vecteur u, v, w, au point considéré.
On comprend maintenant pourquoi nous avons démontré le lemme %. Les variations de u le long de l’élément abcd sont du même ordre que les quantités que nous conservons ; il n’est donc pas légitime de les négliger ; mais elles disparaissent ‘d elles-mêmes en vertu du lemme.
