Flux conservatif et non conservatif

1°. — On dit que le flux est conservatif dans un espace donné, lorsqu'il est le même à travers toutes les surfaces qui sont limitées par le même contour, les surfaces demeurant tout entières dans l’espace donné. Cela revient à dire que la quantité de matière qui passe à travers toutes ces surfaces dans le même temps est la même, que le débit total est le même pour toutes ces surfaces. Cela revient encore à dire que le fluide supposé continu est incompressible.

Posons que le flux est le même à travers deux surfaces S, et S, limitées au même contour C. Comme dans l'expression du flux intervient le

s) cosinus de l’angle du vecteur avec la normale à la surface, il faut, pour définir complètement le flux, choisir un sens sur cette normale.

Fig. 310. Nous pouvons le faire arbitrairement pour l’une des surfaces ; notre choix pour l’autre est alors déterminé par la condition qu’en déformant et étirant la première surface pour l'amener à coïncider avec la seconde, les sens sur les normales soient alors les mêmes.

C'est ainsi que les sens ont été choisis dans la figure 310.

2%. — Montrons que si le flux est conservatif, il est nul à travers toute surface fermée, à la condition de prendre les normales toutes vers l’extérieur, ou toutes vers l’intérieur de la surface fermée.

Généralement on prend leur direction positive vers l'extérieur de la surface.

En effet, si les flux sont égaux à travers S, et S, quand les normales sont dirigées suivant la première convention, ils sont égaux et de signes contraires quand les normales sont dirigées suivant la seconde, puisque changer la convention nous amène à retourner toutes les normales pour l’une des surfaces, par conséquent à changer le signe des cosinus pour tous les éléments de l’une des intégrales.

Silona f—$,, dans le premier cas, on à FL, —0, dans le second. CQFD.

3. — Cherchons la condition analytique pour que le flux soit conservalif. Il a pour expression :

= | [ (a dy de + v ds de +w de dy): (1) l'intégrale est étendue à toute la surface. Étudions-en la première