Cas général

L'équation qu'il s’agit d'intégrer est :

Rr+9Ss + Ti—0,

d?z d?z d?z R, S, T, sont des constantes. L'intégrale est :

2 f(Viy + x) + F(V:y +), (2) où f et F sont des fonctions arbitraires; V,, V, sont des constantes fonctions des paramètres R,S, T.

Il résulte d’abord de la forme linéaire de l'équation (1) que si des fonctions f, F, ..., de x et de y lui satisfont isolément, la somme de ces fonctions mültiphiées par des constantes arbitraires lui satisfera. Étudions donc séparément les deux parties de l'intégrale (2).

La fonction z—f{x,y), peut être considérée comme dépendant de la variable auxiliaire unique t | qui n’a rien de commun avec le symbole

{ de l'équation (1)| : t=NVy tx,

elle-même fonction des variables z et y. On a donc : dÉ 04 5x —1; We

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ET

Nous exprimons ainsi que z ou / ne varient respectivement avec æ ou y qu'autant qu'elles varient avec { et que { lui-même varie quand + ou y changent de valeurs.

On a de même :

ds 0 oc 0 08. : df:08,..0f De tte dd de?

DR 0 04 0 df. dif dt: d D Or du de dn nt de?

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dr dy — dy dr — dy dt dE dy [A Substituons dans l’équation (1); il vient :

f (RH 2SV LTV?) 5 de =.

Cette équation sera identiquement satisfaite, quelle que soit la fonction f, si l'on a: R+2SV+TV?—0. (3)

Nous laissons de côté le cas où / est une fonction linéaire de é, auquel cas sa dérivée seconde est identiquement nulle.

Il existe donc deux valeurs V, et V, de V généralement différentes, pour lesquelles la fonction f(Vy—+zx) satisfait à l'équation proposée : ce sont les racines de l'équation (3). Nous sommes donc assurés que (2) est une solution de l’équation proposée (1) : nous admettons que c’est la solution la. plus générale.