Cas des racines égales

Si les racines de l'équation (3) sont égales (V,—V.), la solution : 2 — f(Viy + o) + F(Vy +2) ne contient plus qu'une seule fonction arbitraire, car la somme de deux fonctions arbitraires d’une même variable ne constitue en réalité qu'une fonction arbitraire. |

Si V est racine double de l'équation (3), on a simultanément (S #3) :

R+2SV ELTV:—0, S + TV —0. (4)

Vérifions qu'on a une solution en posant :

2 —=y{(NVy +) +F(Vy +x),

où V est la racine double de l'équation (3). Nous savons que la fonc-

tion F est une intégrale: montrons qu'il en est de même pour la

fonction yf. On a :

03 Fe df or Ô2z Œf d?z df È da dE ? dx dy + Ve TE 6 de av dl à y, 0y* mr” J qe

“pahdinons ces bre dans Penn (a, il visht éahation de

re [R+2sv + Tv + 9 Ls+Tv=0,

qui est une identité quand V satisfait aux relations (4). On comparera utilement ce paragraphe au paragraphe 284: ‘constatera l’analogie des solutions.