FONCTIONS ALGÉBRIQUES

Le théorème s'applique à une fonction continue quelconque dont la dérivée est elle-même continue (comparer au $ 22).

Inversement, entre deux racines consécutives de la dérivée, il ne peut exister qu’une racine de la fonction : plus généralement la fonction ne passe qu’une seule fois par chacune de ses valeurs.

CoRoOLLAIRE. — Si l’on connaît foutes les racines réelles à', b',

c', … de la dérivée, on peut déterminer le nombre exact des racines réelles de la fonction. On substituera dans la fonction les nombres : — oc, a, b',c',...,<+ oc, les racines étant supposées rangées par ordre de grandeurs croissantes. On déterminera les signes correspondants de la fonction. Chacun des intervalles comprend zéro ou une racine suivant que les résultats de la substitution sont de même signe ou de signes

contraires ($ 38).

43. Un facteur premier d’ordre » d’un polynôme est facteur n—1 de sa dérivée.

Supposons le polynôme mis sous la forme :

y—=(x — a) o(x), où o(x) n'est plus divisible par æ—a; ce qui revient au même, o(xæ) n'admet plus a comme racine. On a :

d d BE = n(œ— a) o(x)+(o—a)

—(x— a) | no(x) + (x — à) æ|

La parenthèse n'est pas divisible par (æ— a), car pour x —a,

Fig. 36.

elle prend la valeur no(a), qui par hypothèse n'est pas nulle. Donc

le facteur x—a n'intervient dans la dérivée qu’à la puissance n — 1.

cours DE M4 (THÉMAT TIQ UES GÉNÉRALES

ns FR

ne au $ 33. Si nest pair (fig. 36 ie nous savons que la courbe y est tangente à Ox pour æ—a, et reste du même côté de sa tangente de part et d'autre du point A d'abscisse a. Donc sa dérivée z, qui s’annule pour la même valeur de +, traverse l'axe des æ en ce point. Si n—2, c'est une droite. Si n—4, 6, .…., c’est une courbe du 3°, 5°, ... degré qui présente au point À un contact d'ordre impair avec Ox.

Si n est impair(fig. 36 à droite), la courbe y, tangente à Ox au point À, passe d'un côté à l’autre de Ox. La courbe z reste du même côté.

Exception doit être faite pour n—1: la courbe y est une droite inclinée ; la courbe z est une droite horizontale qui ne passe pas par le point À.

Le théorème qui vient d’être démontré peut s'énoncer de la manière suivante : une racine multiple d'ordre n d’un polynôme est

racine d'ordre n—1 de sa dérivée.