Relations entre les coefficients d’une équation et

ses racines.

1°. — Admettons, ce que nous avons démontré possible, que toutes les racines soient réelles, Elles sont précisément au nombre de m. Nous avons identiquement, c’est-à-dire pour toutes les valeurs de x :

2" HAm"TIL.. LA,—=(x—a)(x—b)... (x—p).

VS AU Nr LE FN DENTS Es ‘|

Développons et identifions les coefficients des mêmes puissances de æ dans les deux membres qui sont identiques, c’est-à-dire qui doivent avoir les mêmes valeurs pour toutes les valeurs de +. Il vient :

(ati het)e-?a, As" {ah bot.) 2 Jap, ee = — D abe, (1)

FRE 1e nr .

On prend le signe + si m est pair, le signe — si m est impair. Énonçons les résultats en langage vulgaire. Rétablissons le coeffi-

cient A, : la somme des racines est égale au quotient AÀ,:A, changé de signe ; la somme des produits des racines prises deux à deux est égale au quotient A,:A,;... et ainsi de suite.

®.— Appliquons à l'équation du second degré : a +pr+q—=0.

Les racines a et b sont données par les formules :

ne

Conformément au théorème général, on a :

a+ b—— p, ab:

42. Deux racines réelles consécutives d’un polynôme entier comprennent nécessairement un nombre impair de racines de la dérivée.

Cette proposition, connue sous le nom de fhéorème de Rolle, est

Létvers en pme t

Fig. 35.

évidente. Car la fonction y—/f(x), qui est continue, ne peut partir de 0 pour revenir à 0, sans passer par au moins un maximum ou un minimum. Si le nombre des maximums ou des minimums est supérieur à un, il est évidemment impair.

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