PENTE A L'ORIGINE

Dans la sinusoïde normale (fig. 38), pour laquelle les échelles des abscisses et des ordonnées sont les mêmes, la pente à l'origine est :

cos 0— 1.

La tangente à l’origine est bissectrice des axes de coordonnées. Mais généralement les échelles des ordonnées et des abscisses ne sont pas les mêmes. Soit à étudier les courbes :

y=Asin®—, = À cos 2r +.

A représente l'ordonnée maxima : on la désigne sous le nom

d'amplitude ; à est la longueur d’abscisse qui correspond à la période. Un calcul identique au précédent donne :

dy 2x æ dz 2 : a Li cos 27, dx = A; sn.

En particulier, la pente à l’origine est pour la sinusoïde :

dy 2r (SH) =A<+.

La tangente à l'origine a donc pour équation :

y Art AT CR En particulier, elle coupe l'ordonnée d’abscisse æ— hauteur y donnée par la formule :

nd hi

Ce résultat est intéressant quand on veut construire une sinusoïde, ce qui arrive à tout instant en Physique. Pour la sinusoide normale, on a : À—2rA, quelle que soit l’unité de longueur choisie.

Corrélativement la tangente à l'origine a pour équation : y—#x.

3°. — Prendre des échelles différentes sur les axes de coordonnées pour construire les courbes : |

\k:4, à une

Y — Sn , SE COST,

revient à prendre la même échelle et à construire les courbes :

UE y —= À sin ?r +; z— À cos 27 —.

52. Amplitude, phase ou ec Je Somme de plusieurs sinusoïides.

1°. — Soit la sinusoïde :

y —= À sin (67 — à).

A rene l'amplitude ; c'est l'ordonnée maxima. Nous posons : &—2r:2À. La longueur dont il faut se déplacer sur l'axe des abscisses pour obtenir des ordonnées identiques avec des pentes identiques, est un multiple quelconque de À. Enfin + mesure le décalage ou la phase; à fixe les points où les ordonnées s’annulent, les zéros de la sinusoïde. Pour ces points on a :

À À OT — a —= kr, 4 : Dames car 2 +hkS

D rod Supposons tracées plusieurs sinusoïdes de même période : Ya = À Sin (wx — à), y2 = B sin (wx — À),

Additionnons les ordonnées. Nous obtenons une nouvelle courbe qui est une sinusoiïide et dont il s'agit de calculer les éléments.

Soit : Y =R sin (or —b), la courbe cherchée. Identifions :

À sin (ox — a) + B sin (wx — 8) +... — R sin (wæ — p).

Développons les sinus ; il vient :

(A cos à + B cos 8 +...) sin wr — (A sin a + B sin 8 ..\cos wr

— R cos s sin wx — R sin » cos wx.

Cette condition doit être satisfaite identiquement, c’est-à-dire quel que soit +. Il suffit de poser les relations :

Acosa—+Bcosf +...—Roose, Asina+Bsinf+...—kRsinp,

qui définissent complètement R et bp.

Montrons-le comme résultat de la règle de Fresnel.