Courbes de Lissajous

1°. — On appelle courbes de Lissajous les courbes qui résultent

de la composition de deux mouvements rectangulaires exprimés en

fonction du temps (variable auxiliaire) par les relations : | x —= À sin (ot — a), y = B sin (w,É— $).

Les périodes sont :

j Pr LAS A à PE es VA Pour que la courbe décrite soit fermée, on doit avoir : moy —= NO», nlimtr,=0,

où m et n sont des entiers que nous supposerons premiers entre eux. Après m périodes T, de l’un des mouvements, par conséquent après n périodes T, de l’autre, tout revient dans l’état initial.

2%. — Supposons qu'il en soit ainsi. Les courbes sont fermées et inscrites dans des rectangles de côtés 2A et 2B. Cherchons comment elles dépendent des paramètres à et f.

Quand nous changeons l’origine des temps, nous ne modifions pas la forme des courbes. Cela revient cependant à remplacer : of par oil + «40, oo par wo + op.

La forme des courbes dépend donc de la différence :

En effet, une fois le changement de l'origine des temps effectué, les mouvements deviennent :

æ = À sin (ot + w:0 — à), y = B sin (ot + 6,0 — &).

Le temps 6 est arbitraire : posons w6—2; il reste :

. . (e 4 æ = À sin it, y = B sin ot+u(E— À.) :

Oo

ce qu'il fallait démontrer.

9%, — Prenons le mouvement sous la forme :

. 2rn 2rm x = À sin t, y—=Bsin (£— +). (1)

Pour obtenir toutes les trajectoires possibles, 1l suffit que la constante + varie de 0 à :

CRT

mn M n°

autrement dit, le mouvement redevient identique à lui-même quand on remplace + par 7-0 :mn. En effet, changeons l’origine des temps, ce qui ne change pas la forme de la trajectoire : remplaçons

t par 06. Ajoutons mn à +; le nouveau mouvement a pour équation :

De Drm (t+0— — 0) (2)

ASour que les mouvements 4 et (2) sont identiques. Les quantités y et y étant des nombres entiers, il suffit de poser :

æ—= À sin

UE FRAME 7 n mn m d’où : my — nu = 1. (3)

Cette équation peut toujours être satisfaite par des valeurs entières de y et de ».

Donc la période pour + est bien @ : mn.

4 — Le calcul des courbes se fait très simplement, grâce à la table du $ 46. La figure 45 représente le cas de l’octave :

: æ=—=sin (2w{ +3), y = Sin of, (4)

Le changement de sens de circulation du mobile se produit sur une courbe parcourue successivement dans les deux sens ; par suite, le sens de circulation y est indéterminé. C’est ici un arc de parabole :

rie x —= cos 2ot — cos? w{ — sin? wf, y = Sin ot; x + 2y — 1. | La figure 45 représente la moitié du phénomène total. Quand à DE 7 ET Re.

se Tr ja S a 0 De IT Æ us SX x 3 Fig. 45.

varie de 7 à 2x, on obtient des courbes symétriques par rapport à une verticale.

La variation de à est conforme à la proposition 3°. On a ici m—1A,n—2, mn—2. La variation à doit correspondre à la moitié d'une période ®@ du phénomène, c’est-à-dire à une période du phénomène périodique le plus rapide dont l’élongation est x.

®%. — Si la condition : mo, — no;

où m et n sont des entiers, n’est satisfaite qu approximativement, la courbe n'est pas fermée. ie

une valeur voisine de w,, dont le rapport avec w, est rationnel. Les équations du mouvement peuvent s’écrire sous la forme (4) généralisée, à la condition de remplacer w, par w;, et simultanément de prendre pour à une fonction linéaire du temps facile à déterminer.

Tout se passe comme dans le premier cas, mais avec un à lentement variable. On observe donc successivement toutes les courbes pour lesquelles les fréquences sont dans le rapport rationnel et qui correspondent à diverses valeurs de 3. Par exemple, si le rapport est voisin de 2, on verra successivement les courbes de la figure 45 et les courbes symétriques par rapport à une verticale.

C’est en cela que consistent les baf{ements pour deux mouvements sinusoïdaux à angle droit.

56. Fonctions inverses ; arc sinus, arc cosinus. 1°. — Nous avons considéré y comme fonction de x, le sinus ou le cosinus comme fonctions de l’arc. En considérant ($ 1) l’arc comme

PRE Ar DRE DE PRET ALE RE UE

CIRCULAIR

FONCTIONS : HAE Ye à 81 fonction du sinus ou du cosinus, nous définissons les fonctions inverses :

x—arcsiny, dx ArC.COS y :

æ est l’arc dont le sinus est y, ou l'arc dont le cosinus est y. Tandis que le sinus et le cosinus d’un arc donné sont connus sans ambiguïté, un sinus ou un Ccosinus conviennent à une infinité d’arcs. Donc y est une fonction uniforme de x, tandis que x est une fonction multiforme de y.

Pour s’habituer au maniement des fonctions circulaires inverses, le lecteur construira la courbe :

2 arc sin y — arc sin æ — à.

Plus généralement, il reprendra le paragraphe précédent, en éliminant la variable auxiliaire { des équations du mouvement. 2%. — Cherchons les dérivées de ces fonctions. Nous avons :

y —=sinx, dy — cos x dx — 01 — y° dx ;

dx = d(arc sin y) — dia.

y = C8 9, dy = — sin x dr = — 5\1 — y? dx; da =d (are cos y) = — 2 ,

s représente le signe +.

Il n'y a aucune difficulté pour choisir les signes en se reportant aux figures 40, 42 et 43.

Il est d'abord évident que si je me donne un arc, son cosinus et son sinus étant parfaitement déterminés, le signe à donner au radical l’est aussi, puisque cÿ1—7* doit remplacer l’une des lignes trigonométriques.

Mais si je me donne sin x, l'arc n'est pas complètement déterminé ; les arcs qui correspondent au même sinus se groupent en deux séries qui admettent des dérivées égales et de signes contraires. L'indétermination est donc réelle, et le symbole : doit subsister.

On trouve les mêmes valeurs absolues pour dx, que y soit un cosinus ou un sinus, parce que c’est la même courbe décalée qui représente les deux fonctions : les variations de la fonction x à partir d'un point donné ne dépendent point de ce décalage.

Tangente, cotangente.

57. Définition de la tangente et de la cotangente. 1°. — Soit A l'extrémité de l’arc dont l’origine est le point O: prolongeons le rayon AC jusqu’à sa rencontre avec les droites À Cours de Mathématiques générales. — H. BOUASSE. 6

0 COURS DS AE UE cENÉRALES

et A’ tangentes au cercle aux points O et O’. Nous appellerons tan-

gente de l’are OA la longueur Oz, cofangente du même arc la longueur O7.

La fangente est positive par convention quand le point + est audessus de la droite D, négative quand il est au-dessous. La cofangente est positive quand le point y est à droite de D', négative quand il est à gauche.

Les triangles semblables donnent :

FRA 5 d NRSrRER sin æ r— —— , ges (4) CM SNA ET à. TN COS æ I 0’ = C0, COST nn (2) CN sin æ gx On vérifiera que les relations (1) et (2), qui définissent la tangente D' 7 A \ \ Ar. et SA A RD LP et MICRO NIORS LR A | 7x PRE 2à à l \ DE D SNS K 2 \ mu 0 TS TL SES Æ a | 2 La à “ es" et I NE “ A x LE N * * \ \ Û \ \ \ Le \ \ À ù | \

Fig. 46.

-et la cotangente en fonction du sinus et du cosinus, sont exactes -en grandeur et en signe, quelle que soit la position du point À sur la circonférence.

Les arcs terminés en À ou au point diamétralement opposé A -ont même tangente et même cotangente; d’où la relation :

tgx—tg(r tx), cotg x —cotg (r + x).

La période de ces fonctions est donc 7.

2%. — Le fonction y—tgz est nulle pour æ—0. Au voisinage de æ—0, la courbe se. confond avec la bissectrice des axes. En effet, sinx se confond avec x, et cos æ est quasiment invariable et égal à l'unité.

La tangente de l'arc x devient égale à l’unité pour æ—7x: 4. Elle croît indéfiniment quand on s'approche de 7r:2. Les deux droites D' et À étant parallèles, la tangente est plus grande que

| FONCTIONS CIRCULAIRES "a

toute valeur fixée à l'avance pour æ—+r:2; on dit qu’elle est infinie; on pose tg(r:2)—c.

Deux droites parallèles peuvent être considérées comme se coupant à l'infini à l’un ou l’autre de leurs bouts. On peut donc écrire aussi bien tg(r:2)—=—oc. Ce ne sont là que des façons de parler commodes pour généraliser les énoncés.

Dès que l'arc est supérieur à 7:2, la tangente reprend une valeur bien déterminée, très grande et négative: puis sa valeur absolue diminue pour redevenir nulle quand l'arc atteint la valeur x. La tangente à la courbe représentative est la bissectrice des axes. Comme nous savons que la période de la fonction tgx est +, nous obtiendrons la suite de la courbe indéfinie en déplaçant le morceau que nous venons de construire, de kr parallèlement à l'axe des abscisses.

3. — On vérifiera de même que cotg x est positive et très grande pour toute valeur de æ positive et voisine de 0; elle diminue quand x croît. Elle coupe tgx sur la droite A’ d'ordonnée 1 pour æ=—7 : 44. Elle s’annule pour æ—#7:2; la tangente à la courbe représentative est alors bissectrice des axes.

Pour æ>—7+r:2, cotg x devient négative; sa valeur absolue croît indéfiniment quand æ s'approche de +. Pour x—7+, la cotangente n'est plus définie; pour généraliser les énoncés, on pose :

#. — Les courbes qui représentent tgx et cotgx sont symétriques par rapport aux verticales d'abscisses : | k DJ se LE

comme 1l résulte de la relation :

to (T LA & à DÉC" A cotg (5 —x —cos( à —7 :sin(S —x os — 82.

5°. — En définitive, la fonction tgæ est complètement définie par la fonction sin x, puisque cosx n'est qu’un sinus décalé. La fonction cotg x est l'inverse de tgæ. Pourtant on ne se contente pas de la fonction sinæ qui, à la rigueur, suffit à tout, parce que, dans les applications, la combinaison sinæ:cosx et son inverse se présentent fréquemment. Il est bon d’en connaître à l'avance les propriétés et d’en avoir dressé des tables numériques. 6°. — Un arc donné par sa tangente n'est défini qu'à un multiple de + près; ses sinus et cosinus ne sont donc donnés qu'au signe près (fig. 46). On a :

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