Étude de la fonction sinx
{°. — Nous connaissons les valeurs de sin x en fonction de x; nous pouvons donc calculer les quotients sinæ'x et construire la
LR NT = ln
Lu cou: dunoné a. our cui ds
Fig. 48.
courbe représentative point par point. La figure 48 représente lerésultat du calcul.
Il est d'abord évident que les courbes sinæ et snr'x ont leurs zéros pour les mêmes valeurs de x, la valeur æ—0 exceptée.
Pour æ—0, le quotient sinx:x se présente sous la forme 0 :0; évidemment cela ne signifie quelque chose que conventionnellement. Mais nous savons que pour de petites valeurs de x, sinæ est très sensiblement égal à æ, et d'autant plus voisin de x que æ est plus petit.
Nous admettrons donc comme évident que la limite du quotient sinæ:æ est l’unité, quand x s’annule.
ah he . COURS DE MA THÉMATIQUES GÉNÉRALES |
Nous pouvons dire la même chose en d'autres termes. D'une manière générale nous avons :
d sinx— cos x dx.
Au voisinage de æ—0, on a sensiblement :
draæ, d sin + = sin x — sin 0 — sin «.
D'où enfin sensiblement : sinæ :æ—cosx.
Cette relation ne s'applique qu'au voisinage immédiat de æx—0. Nous démontrerons ($ 257) les relations plus approchées :
SNT=L—E, cos z—1—-; sin æ x? x?
d’où : — — À — = — cos x + -—-
La courbe que nous construisons reste au-dessus de la cosinusoïde pour de petits arcs (fig. 48).
2%. — Comme il faut diviser les ordonnées sin x par une grandeur qui croît avec x (iei elle est égale à æ, mais notre remarque est plus générale), les maximums et minimums ‘de sinæ:æ ont évidemment lieu pour des valeurs de æ plus petites que les maximums et minimums de sin +. À
Pour préciser, calculons la dérivée de y—sin x : x.
y ee de = re e
sin æ COS x sin æ (| sin æ : — —— | cos x — dæ x x x
Les maximums et minimums sont fournis par la condition : : Eure 1 0 ; tg 4 À ae eve ER
Nous étudierons plus loin cette équation franscendante ($ 66). Nous montrerons que les valeurs de + qui y satisfont, sont :
3T Dr 17% 9x ! 5 . 0,96, 2 - 0,98, 5 - 0,99, DE
La différence des abscisses des maximums et minimums des deux
courbes est d’abord considérable (x :2); elle tend rapidement vers (0.
