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1, 2, 3, .….; étudions comment elles coupent la sinusoïde.

Mais une remarque essentielle est nécessaire. Dans la sinusoïde normale , c'est-à-dire pour laquelle les échelles des abscisses et des ordonnées sont les mêmes, la période en abscisses À ($ 51) doit être 2r fois l’ordonnée maxima. Il n’en est pas ainsi sur notre figure; la période À est à l’ordonnée maxima dans le rapport 12: 5—2,4. C’est dire que toutes les ordonnées ont été multipliées par :

On ne l’oubliera pas dans la construction des droites. Ainsi la droite y—x, qui doit être tangente à la sinusoïde à l’origine, a effectivement pour équation : 7y—2,61x.

Raisonnons comme si la figure 49 était normale.

2°. — Ceci posé, pour toutes les droites dont le paramètre a est plus grand que 1, seule la valeur x—0 satisfait à l'équation.

Il n’y a qu’une racine.

Il semble d’abord qu'il en soit de même pour la droite y—x. Mais si la racine æ—0 existe encore seule, elle jouit de propriétés particulières. Non seulement la droite y—x est tangente à la sinusoide, mais encore c'est une tangente d’inflexion; nous disons ($ 33) qu'il y a trois racines égales.

Inclinons la droite davantage (droite 3) : il n'y a plus que deux

Fig. 49.

racines simples: æ—0 et une autre comprise entre 0 et +. Jusqu’au moment où la droite 4 devient tangente à la seconde boucle de la sinusoïde; il y a alors deux racines simples (zx, —0, 4, 7) et une racine double. Pour la droite 5, nous avons quatre racines simples. Pour la droite 6, quatre racines simples et une racine double. Et ainsi de suite. Nous nous bornons aux racines positives.

3°. — On peut faire la même discussion au moyen de la figure 48. Nous devons satisfaire à l’équation :

sin æ BREST T, LT

cela revient à trouver les intersections de la courbe y—sinx:#x, et de la droite horizontale 3 —

Plaçons cette droite suffisamment haut et faisons-la descendre.

Elle ne commence à rencontrer la courbe y—sinxz x, que pour a—1. Elle lui est alors tangente. Abaissons-la davantage, elle coupe la courbe une fois. Puis elle devient tangente à une boucle non tracée, qui se trouve comprise entre les abscisses 27 et 37. Puis elle coupe cette boucle en deux points. Et ainsi de suite : nous retrouvons les résultats précédents.

#4. — Il ya cependant un désaccord dont la raison est très intéressante.

La première.méthode nous donne toujours une racine pour æ—0, quel que soit a. Manifestement la seconde méthode n'en donne pas. Cela tient à ce que le rapport sinæ:x n'a réellement pas une valeur déterminée pour æ—0; il n’a la valeur 1 que conventionnellement, comme limite. Étant quelconque, il peut être représenté par l’axe Oy tout entier : il est donc coupé par une horizontale, quelle que soit sa hauteur.

2°. — Déterminer dans la première méthode les valeurs de a pour lesquelles les droites sont tangentes aux boucles successives de la sinusoïde, revient à déterminer dans la seconde méthode les ordonnées maxima de la courbe sinæ:x. Les abscisses de tangence sont ($ 62) fournies par la condition :

igæ==7.