Étude de la fonction tgx:#x

Pour æx—0, tgz:x se présente sous la forme 0:0; la fonction n’existe que par convention. Nous lui donnons la valeur limite que prendle quotient tgx:x quand, d’abordtrès petit, s'annule.

Nous devons répéter ce que nous avons dit à propos du sinus. Nous avons :

: t é 1 | : SÉMND lim (2 2.) — Jim (2e LA ) =lim(”, )= 1, 3 ER Paie æ COST 0 T

puisque cosæ—1, pour æ—(. À

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Autrement dit, on a sensiblement pour de petits ares (& 62)

Be") : (4 —+)=2++.

D'où : B—I1+T, lim (82) —1, j T rs 0

Les deux courbes y—tgx, Y—tgz:, se coupent pour æ—1; cet arc correspond à un angle de 57° 17 45” (radian). Quand x s'approche de z7:2, la tangente et, par suite, son

LÉ

D] sf

st

Dhs th Ts,

à (=) D Se SA

Fig. 50.

quotient par æ augmentent indéfiniment. Ceci est vrai pour tous les multiples impairs de 7r:2; la courbe tgx':x a les mêmes asymptotes que la courbe tg x.

Tandis que la courbe tgæ est symétrique par rapport aux points d’ordonnées nulles et d’abscisses x, 27, …, il n’en est plus de même de tgæ:x. Après ces points elle se rapproche de l’axe des abscisses plus qu'avant.

Pour x très grand, la courbe tgx:x tend vers la forme ABCD; l’ordonnée est partout quasiment nulle, sauf tout près des asymptotes où elle croît très rapidement. Pour ces asymptotes mêmes, sa valeur dépasse toute valeur fixée à l'avance.